Encuentra la ecuacion de la recta tangente a la curva y = x ^ 3 - 2x + 3, en x = 1?
Encuentra la ecuacion de la recta tangente a la curva y = x ^ 3 - 2x + 3, en x = 1. Determine la ecuacion de la recta normal y grafique.
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ax² + bx + c = 0
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Respuesta : La curva azul representa a la función x³ - 2x + 3La recta verde representa a la recta tangente : y = x + 1La recta roja representa a la recta normal : x + y - 3 = 0Explicación paso a paso : Para encontrar la recta tangente a la curva de una ecuación, se toma su derivada y se evalúa en el punto dado para obtener el valor de la pendiente de dicha recta.
Primero empecemos encontrando el punto exacto donde la recta tangente coincide con la curva.
Como tenemos el valor de x solo es sustituir en la función para obtener el valor de y.
Y = x³ - 2x + 3, x = 1y = (1)³ - 2(1) + 3y = 1 - 2 + 3 = 2El punto exacto donde coinciden ambas funciones es P(1, 2)Para sacar la recta pendiente vamos a derivar la función : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%28%20y%20%3D%20%20%7Bx%7D%5E%7B3%7D%20%20-%202x%20%2B%203%29%20%5C%5C%20%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%20%3D%203%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%20-%202" />Se usa la regla de derivación de exponente, el exponente se baja a multiplicar y al exponente anterior se le resta 1.
Y la derivada de una constante es siempre 0.
Ahora teniendo el punto donde coinciden ambas funciones y la derivada.
Tenemos que evaluar la derivada con respecto al punto X que nos dan.
F'(x) = 3x² - 2, x = 1f'(1) = 3(1)² - 2 = 3 - 2f'(1) = 1Ese valor sería el de la pendiente, ahora como tenemos la pendiente y los valores del punto de la recta.
Podemos encontrar su ecuación a partir de la ecuación punto - pendiente : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28y%20-%20y1%29%20%3D%20m%28x%20-%20x1%29" />sustituyendo tenemos : P(1, 2)(y - 2) = 1(x - 1)y - 2 = x - 1y = x - 1 + 2y = x + 1Esa es la ecuación de la recta tangente a la curva en su forma ordinaria, es decir y = mx + b.
Ahora, también nos piden encontrar la recta normal a esa curva.
Para ello hay que saber que la recta tangente y la recta normal son perpendiculares entre sí.
Y una propiedad de las pendientes de rectas perpendiculares es que el producto de sus pendientes es igual a - 1<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28m%20%5Cfrac%7B%7D%7Bt%7D%20%29%28m%20%5Cfrac%7B%7D%7Bn%7D%20%29%20%3D%20%20-%201%20%5C%5C%20" />Como sabemos que la pendiente de la recta tangente es 1, tenemos que : mn = - 1 / 1mn = - 1La pendiente de la recta normal es - 1.
Ademas la recta normal también coincide con el punto donde intersecta la recta tangente y la curva, por lo que podemos usar la ecuación punto - pendiente otra vez.
(y - 2) = - 1(x - 1)y - 2 = - x + 1x + y - 3 = 0Esta es la ecuación general de una recta, (Ax + By + C = 0)Para pasar de una forma a otra solo se iguala a 0 o se despeja de un lado las X y de otro las Y.
La gráfica de ambas rectas y la curva estan en el archivo adjunto.
Espero te sirva de ayuda : ).
Otras 1 respuestas
Respuesta 2
Respuesta : Recta Tangente : y = x + 1Recta Normal : y = - x + 3Explicación paso a paso : Lo primero que haremos es hallar el punto en el cual es tangente, como solo nos dan el valor de x hallaremos el valor de y sustituyendo x = 1 en la ecuación de la curva : y = x² - 2x + 3 x = 1y = 1² - 2 * 1 + 3y = 2Por tanto el punto es : P(1, 2)Para hallar la pendiente de la recta debemos derivar la ecuación de la curva con respecto x : * Por definición : "La derivada es la pendiente de la recta tangente".
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bd%28x%5E3-2x%2B3%29%7D%7Bdx%7D%3D3x%5E2-2" />Como nos dicen en x = 1, sustituimos x en la derivada : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=3x%5E2-2%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20x%3D1%5C%5C3%2A1%5E2-2%5C%5C3-2%5C%5C1" />Por tanto la pendiente es igual a 1 : m = 1Ahora usaremos la ecuación general de la recta, con el punto que tenemos y la pendiente que hallamos : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y-y_1%3Dm%28x-x_1%29%5C%5C%5C%5Cx_1%3D1%2C%5C%20%5C%20%5C%20y_1%3D2%2C%5C%20%5C%20%5C%20m%3D1%5C%5C%5C%5Cy-2%3D1%28x-1%29%5C%5C%5C%5Cy-2%3Dx-1%5C%5C%5C%5Cy%3Dx-1%2B2%5C%5C%5C%5Cy%3Dx%2B1" />Así que la ecuación de la recta tangente es : y = x + 1Para hallar la recta Normal hacemos lo siguiente : Dos rectas son normales si : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=m_1%2Am_2%3D-1%5C%5C%5C%5CYa%5C%20conocemos%5C%20m_1%3D1%5C%5C%5C%5CHallamos%5C%20m_2%3A%5C%5C%5C%5Cm_1%2Am_2%3D-1%5C%5C1%2Am_2%3D-1%5C%5Cm_2%3D-1" />La pendiente de la recta Normal es - 1 : m2 = - 1Hallamos la ecuación de la Recta Normal : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y-y_1%3Dm%28x-x_1%29%5C%5C%5C%5Cx_1%3D1%2C%5C%20%5C%20%5C%20y_1%3D2%2C%5C%20%5C%20%5C%20m%3D-1%5C%5C%5C%5Cy-2%3D-1%28x-1%29%5C%5C%5C%5Cy-2%3D-x%2B1%5C%5C%5C%5Cy%3D-x%2B1%2B2%5C%5C%5C%5Cy%3D-x%2B3" />La ecuación de la recta Normal es : y = - x + 3 * Te dejo la imagen abajo.
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