Encontrar las coordenadas del vertice y el foco, las ecuaciones de la directriz y el eje ; asi como la lungitud del lado recto de : 4y ^ 2 - 48x - 20y - 71 = 0 porfa una ayuda?

Hola!

Es fácil mira :

Coloquemos la ecuación :

y² - 8x - 6y + 25 = 0

Juntemos los términos en "y" porque son las que hay más de 1.

Y² - 6y - 8x + 25 = 0

Mandemos lo demás al lado izquierdo.

Y² - 6y = 8x - 25

Completamos cuadrados, es decir sacamos la mitad al 6 y lo elevemos al cuadrado.

Y² - 6y + 3² = 8x - 25 + 3²

Acuerdate que lo que se hace en un lado se hace en el otro.

Y² - 6y + 9 = 8x - 25 + 9

Ahora factorizamos el lado izquierdo por "Trinomio al cuadrado perfecto",

(y - 3 )² = 8x - 16

Ahora factorizamos el lado derecho por "Factor común"

( y - 3 )² = 8 ( x - 2 )

Por lo tanto tenemos una ecuación idéntica a :

( y - k )² = 4p ( x - h ) - - - - > Tenemos una parábola horizontal que abre al lado positivo " ( "

Vértices = = = = = = = = = = = = =

h = 2.

. . .

(2, 3)

k = 3 = = = = = = = = = = = =

Ahora busquemos el Foco.

Si te das cuenta cualquier valor de "k" es costante pero el valor de "h" varia hacia la derecha o a la izquierda pero el foco debe estar a la derecha del vértice entonces le sumaremos + p , es decir.

F ( h + p , k )

Cómo hallar P?

Bueno de la ecuación ( y - 3 )² = 8 ( x - 2 )

4p = 8

p = 8 / 4

p = 2 - - - - - - - - > Valor de " P " ahora.

Ya podemos reemplazar valores en la ecuación del foco.

F ( h + p , k )

F ( 2 + 2 , 3 )

Coordenadas del Foco = = = = = = = = = = = = = = = = =

F ( 4 , 3 ) = = = = = = = = = = = = = = =

Saludos.