El numero de diagonales de un poligono excede en 11 al numero de diagonales de otro poligono tienen un lado menos?

La fórmula para calcular las diagonales de cualquier polígono es :

Diagonales (d) = n× (n - 3) / 2 .

Siendo "n" el nº de lados.

Llamo "d" al nº de diagonales del polígono menor

Por tanto, el nº de diagonales del mayor será "d + 11"

Del mismo modo, llamaré "n" al nº de lados del menor

Y llamaré "n + 1" al nº de lados del mayor

Con eso claro, se plantea un sistema de ecuacionesbasándose en esa fórmula :

1ª ecuación :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=d%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bn%2A%28n-3%29%7D%7B2%7D%20" />

2ª ecuación :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=d%2B11%3D%20%5Cfrac%7B%28n%2B1%29%2A%5B%28n%2B1%29-3%5D%7D%7B2%7D%20" />

que simplificaré un poco.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=d%3D%20%5Cfrac%7B%28n%2B1%29%2A%28n-2%29%7D%7B2%7D-11" />

Resolviendo por igualación.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bn%2A%28n-3%29%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B%28n%2B1%29%2A%28n-2%29%7D%7B2%7D-11%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%5Cfrac%7Bn%2A%28n-3%29%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B%28n%2B1%29%2A%28n-2%29-22%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%20elimino-denominadores...%20%5C%5C%20%20%20n%2A%28n-3%29%3D%28n%2B1%29%2A%28n-2%29-22%20%20%5C%5C%20%5C%5C%20opero-los-productos-de-binomios...%20%5C%5C%20%20%20n%5E2-3n%3Dn%5E2-2n%2Bn-2-22%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20reduzco-terminos-semejantes...%20%5C%5C%202n%3D24%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20despejando-n...%20%5C%5C%20%5C%5Cn%3D%20%5Cfrac%7B24%7D%7B2%7D%20%3D12" />

La respuesta es 12 lados = dodecágono.

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La segunda pregunta se resuelve acudiendo a la fórmula de la suma de ángulos interiores de un polígono y en este caso se refiere al mayor, al que tiene un lado más, es decir : 13 lados.

Suma = (n - 2)×180 = 11×180 = 1980º

Saludos.