Determine el valor de k para que l recta x - 2y + k = 0?

Se intenta buscar los puntos de intersección entre la recta y la parábola, por sustitución :

y = (x + k) / 2 ; reemplazamos en la parábola :

[(x + k) / 2]² = 6 x - 3

Quitamos el paréntesis (4 al segundo miembro)

x² + 2 k x + k² = 4 (6 x - 3) = 24 x - 12

Reordenamos como una ecuación de segundo grado en x

x² + x (2 k - 24) + k² + 24 = 0

Si el discriminante es nulo, hay una única solución ; resulta recta tangente

Si es positivo, dos raíces ; recta secante

Si es negativo, no hay raíces reales ; la recta no corta a la parábola.

Δ = b² - 4 a c = (2 k - 24)² - 4 (k² + 12)

Δ4 k² - 96 k + 576 - 4 k² - 48

Δ = - 96 k + 528

1)Δ = 0 ; k = 11 / 2 (tangente)

2)Δ > 0 ; - 96 k + 528 > 0, k > 11 / 2 (corta en 2 puntos)

3)Δ < 0 ; - 96 k + 528 < 0, k < 11 / 2 (no corta a la parábola)

Con k = 11 / 2, el punto de tangencia es P(13 / 2, 6)

Adjunto gráfico con el caso de tangentes.

Saludos Herminio.