Determina los elementos : vértices, focos, semieje mayor, semieje menor, eje focal, lado recto, extremos del eje menor y excentricidad de la elipse 9x2 + 5y2 - 45 = 0?

Ecuación Canónica de la Elipse :

Eje focal vertical : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%28x-h%29%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7B%28y-k%29%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%3D1" />

Centro (C) : (h, k) a = distancia del centro (C) a los vértices (V) sobre el eje focal

b = distancia del centro (C) a los vértices (A) sobre el eje menor

c = distancia del centro (C) a los focos (F) sobre el eje focal

Relación entre distancias : a² = b² + c²

Vértices : (h, k - a) y (h, k + a)

Focos : (h, k - c) y (h, k + c)

Extremos del eje menor : (h - b, k) y (h + b, k)

semieje mayor = 2a

semieje menor = 2b

excentricidad = e = c / a

Lado Recto = LR = 2b2 / a

Explicación paso a paso :

En primer lugar la escribimos en su forma canónica :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=9x%5E%7B2%7D%20%2B5y%5E%7B2%7D%20-45%3D0%20%5Cquad%20%5CRightarrow%20%5Cquad%209x%5E%7B2%7D%20%2B5y%5E%7B2%7D%20%3D45%20%5Cquad%20%5CRightarrow%20%5Cquad" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B9x%5E%7B2%7D%7D%7B45%7D%20%2B%5Cfrac%7B5y%5E%7B2%7D%7D%7B45%7D%3D%5Cfrac%7B45%7D%7B45%7D%5Cquad%20%5CRightarrow%20%5Cquad%20%5Cbold%7B%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B5%7D%20%2B%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D%7D%7B9%7D%3D1%7D" />

Esta es la ecuación de una elipse de centro en el origen y eje focal el eje de las y.

Definimos sus elementos :

C : (h, k) = (0, 0)

a² = 9 ⇒ a = 3

b² = 5 ⇒ b = √5

a² = b² + c² ⇒ 9 = 5 + c² ⇒

c² = 4 ⇒ c = 2

Vértices :

(h, k - a) = (0, 0 - 3) = (0, - 3)

(h, k + a) = (0, 0 + 3) = (0, 3)

Focos :

(h, k - c) = (0, 0 - 2) = (0, - 2)

(h, k + c) = (0, 0 + 2) = (0, 2)

Extremos del eje menor :

(h - b, k) = (0 - √5, 0) = ( - √5, 0)

(h + b, k) = (0 + √5, 0) = (√5, 0)

semieje mayor = 2a = 2(3) = 6

semieje menor = 2b = 2√5

excentricidad = e = c / a = 2 / 3

Lado Recto = LR = 2b² / a = 2(5) / 3 = 10 / 3.