Demuestre que el conjunto formado por los vectores de R ^ 2, constituyes un Espacio vectorial?

Para que un conjunto de vectores forme parte de un espacio vectorial R², se deben cumplir una serie de propiedades, las cuales definen las operaciones básicas :

Sean los vectores U = (a, b), V = (c, d), W = (e, f)

con U, V y W∈ R²

Definimos los axiomas principales :

1) Propiedad conmutativa : U + V = V + U

(a + c, b + d) = (c + a, d + b)

2) Propiedad asociativa : U + (V + W) = (U + V) + W = (W + U) + V

3) Elemento neutro : Sea un vector Y = (0, 0), tal que

U + Y = U = (a + 0, b + 0) = (a, b)

4) Inverso aditivo : Para cada vector existe un opuesto, es decir U y - U, de tal manera que - U = ( - a, - b) pertenece a U = (a, b), de manera que : U + ( - U) = (0, 0)

5) Multiplicación por escalar : Sea un escalar k que pertenece a los reales (k ∈ R), tal que : k× U = k× (a, b) = (ka, kb)

6)Distributividad :

U× V = (a × c, b × d)

7) Se tiene que 1× U = U = (a , b)

Todas las mencionadas propiedades establecen las operaciones para vectores en su dimensión de par ordenado, las cuales dan por resultado otro vector que forma parte del espacio.