Demostrar que si dos elipses tienen la misma excentricidad, las longitudes de sus semiejes mayor y menor son proporcionales?
Demostrar que si dos elipses tienen la misma excentricidad, las longitudes de sus semiejes mayor y menor son proporcionales.
En resumen
Es una demostración muy sencilla Dos cantidades van a ser directamente proporcionales si aumentan o disminuyen en la misma razón o proporción.
Mejor respuesta
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Es una demostración muy sencilla
Dos cantidades van a ser directamente proporcionales si aumentan o disminuyen en la misma razón o proporción.
En otras palabras :
Si A aumenta - - - > B aumenta (y viceversa)
Si A disminuye - - - > B dismuye (y viceversa)
Esta relación se denota con frecuencia
a / b = c / d
Otra cosa muy importante para realizar una demostración correctamente, se necesita tomar nuestra hipótesis (idea generada en base a una suposición) y llegar a nuestra tesis (Hecho que se deseaba demostrar).
Para este caso tenemos :
Hipótesis : Las dos excentricidades son iguales.
Tesis : Las longitudes de sus semiejes mayor y menor son proporcionales.
En otras palabras b1² / a1² = b2² / a2²
(Esto es lo que se desea demostrar, es a lo que queremos llegar)
Entonces comencemos con la demostración.
Consideremos dos elipses, no importa si son verticales u horizontales.
Sabemos que esta figura del plano está conformada por tres elementos importantes
Semieje mayor : a
Semieje mayor : b
Semieje focal : c
Sean e1 y e2 las excentricidades de las distintas elipses, sabemos que estas son iguales por hipótesis, es decir
e1 = e2
Elevando al cuadrado ambos miembros
(e1)² = (e2)²
Sabemos que la excentricidad de cualquier elipse es de la forma
e = c / a
Sustituyendo en la expresión anterior
(c1 / a1)² = (c2 / a2)²
Repartimos la potencia
c1² / a1² = c2² / a2² .
1)
Cualquier elipse cumple lo siguiente
a² = b² + c², despejamos c
c² = a² - b², sustituimos este resultado en 1)
(a1² - b1²) / a1² = (a2² - b2²) / a2²
Podemos repartir el denominador en ambas fracciones y obtenemos :
a1² / a1² - b1² / a1² = a2² / a2² - b2² / a2²
Se ve claramente que se forma un 1 en ambos miembros de la igualdad.
1 - b1² / a1² = 1 - b2² / a2²
El uno se "cancela" en ambos lados
Multiplicamos por - 1 en ambos miembros y obtenenos nuestra tesis.
B1² / a1² = b2² / a2²
Esto quiere decir que sus semiejes mayor y menor son proporcionales por lo que he concluido la demostración.
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