Demostrar que : 4y ^ 2 - 9x ^ 2 - 16y - 18x - 29 = 0 representa una hipérbola y determine :CentroFocosVértices?

Una hipérbola sigue la forma :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%20%28x-h%29%5E%7B2%7D%20%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%20-%20%5Cfrac%7B%20%28y-k%29%5E%7B2%7D%20%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1" />

Para una hipérbola que abre hacia los lados, si b > a

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%20%28y-k%29%5E%7B2%7D%20%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%20-%20%5Cfrac%7B%20%28x-h%29%5E%7B2%7D%20%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%3D1" />

Para una hipérbola que abre hacia arriba, si a > b

Tenemos la ecuación :

4y² - 9x² - 16y - 18x - 29 = 0, agruparemos para realizar una completación de cuadrados - 9x² - 18x + 4y² - 16y - 29 = 0

Para completar cuadrados se requiere que el término cuadrático sea lineal, es decir igual a - 9(x² + 2x) + 4(y² - 4y) - 29 = 0 - 9(x² + 2x + 1 - 1) + 4(y² - 4y + 4 - 4) - 29 = 0 - 9(x + 1)² + 9 + 4(y - 2)² - 16 - 29 = 0 - 9(x + 1)² + 4(y - 2)² - 36 = 0 - 9(x + 1)² + 4(y - 2)² = 36 - 9(x + 1)² / 36 + 4(y - 2)² / 36 = 36

Dividimos entre 36

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=-%5Cfrac%7B%20%28x%2B1%29%5E%7B2%7D%20%7D%7B4%7D%20-%20%5Cfrac%7B%20%28y-2%29%5E%7B2%7D%20%7D%7B9%7D%3D1" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=-%5Cfrac%7B%20%28x%2B1%29%5E%7B2%7D%20%7D%7B2%5E%7B2%7D%7D%20-%20%5Cfrac%7B%20%28y-2%29%5E%7B2%7D%20%7D%7B3%5E%7B2%7D%7D%3D1" />

Con : a = 2 y b = 3

Se cumple que c² = a² + b²

c = √4 + 9 = √13

El foco 1 es : (h, k - c)→ ( - 1 , 2 - √13)

El foco 2 es : (h, k + c)→ ( - 1 , 2 + √13)

Para los vértices se cumple que :

Vértice 1 : (h, k + b)→( - 1, 2 + 3) = ( - 1, 5)

Vértice 2 : (h, k - b)→( - 1, 2 - 3) = ( - 1, - 1).