∫csc (4x2) cot (4x2) xdx?

Primero debemos simplificar la funcion a integrar.

Sabemos que

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Ccsc%284x%20%7B%20%7D%5E%7B2%7D%20%29%20%20%3D%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5C%20%5Csin%284%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%29%20%7D%20" />

ademas sabemos que

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Ccot%284%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%29%20%20%3D%20%20%5Cfrac%7B%20%5Ccos%284%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%29%20%7D%7B%20%5Csin%284%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%29%20%7D%20" />

reescribimos la función a integrar como :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%E2%88%AB%20%5Cfrac%7B%20%5Ccos%284%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%29%20%7D%7B%20%7B%20%5Csin%284%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%29%20%7D%5E%7B2%7D%20%7D%20xdx" />

Luego aplicamos el método de integracion por sustitución, diciendo

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=u%20%3D%204%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20" />

derivamos ambos lados

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%20%20%3D%208x" />

despejando dx

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=dx%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bdu%7D%7B8x%7D%20" />

si hacemos el cambio de variable en la función a integrar tenemos

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%E2%88%AB%20%5Cfrac%7B%20%5Ccos%28u%29%20%7D%7B%20%7B%20%5Csin%28u%29%20%7D%5E%7B2%7D8%20x%7D%20xdu" />

simplificamos

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%E2%88%AB%20%5Cfrac%7B%20%5Ccos%28u%29%20%7D%7B8%20%7B%20%5Csin%28u%29%20%7D%5E%7B2%7D%20%20%7D%20du" />

volvemos a hacer integracion por sustitucion ( o cambio de variable)

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=z%20%3D%20%20%5Csin%28u%29%20" />

derivamos

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bdz%7D%7Bdu%7D%20%20%3D%20%20%5Ccos%28u%29%20" />

despejamos du

[img = 10]

y ahora si reescribimos la función a integrar

[img = 11]

simplificamos

[img = 12]

y esta funcion si la sabemos integrar, eso es lo mismo que

[img = 13]

eso sera igual a

[img = 14]

y sustituimos los cambios de variable que hicimos

[img = 15]

y de ahora reemplazamls a u

Esta integral será igual a :

[img = 16].