Como se haría la integral ctg ^ 2(x) * csc(x) dx?

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%20%5Ccot%20%5E2%5Cleft%28x%5Cright%29%5Ccsc%20%5Cleft%28x%5Cright%29dx" />

Se aplica la integración por sutitución :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%3D%5Cint%20%5Cfrac%7B%5Cleft%28u%5E2-1%5Cright%29%5E2%7D%7B4u%5E3%7Ddu" />

Sacamos la constante :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cint%20%5Cfrac%7B%5Cleft%28u%5E2-1%5Cright%29%5E2%7D%7Bu%5E3%7Ddu" />

Expandimos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cint%20%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bu%5E3%7D%2Bu-%5Cfrac%7B2%7D%7Bu%7D%5Cright%29du" />

Aplicamos la regla de la suma :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cleft%28%5Cint%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bu%5E3%7Ddu%2B%5Cint%20%5C%3Audu-%5Cint%20%5Cfrac%7B2%7D%7Bu%7Ddu%5Cright%29" />

Tomamos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bu%5E3%7Ddu" />

Aplicamos la regla de la suma y simplificamos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2u%5E2%7D" />

Tomamos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%20%5C%3Audu" />

Aplicamos la regla de la potencia y simplificamos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%3D%5Cfrac%7Bu%5E2%7D%7B2%7D" />

Tomamos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%20%5Cfrac%7B2%7D%7Bu%7Ddu" />

Sacamos la constante y aplicamos la regla de la integración :

[img = 10]

Juntamos todo :

[img = 11]

Sutituimos en u :

[img = 12]

Simplificamos y agregamos un constante :

[img = 13].