Calcular la longitud de arco del cardiode r = 4 - 4 cosθ?
Calcular la longitud de arco del cardiode r = 4 - 4 cosθ.
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En resumen
Se tiene que el diferencial de longitud de arco en coordenadas polares es ds = √((dr / dθ)² + r²)dθ. Pero dr / dθ = - sen θ.
Mejor respuesta
1
Se tiene que el diferencial de longitud de arco en coordenadas polares es
ds = √((dr / dθ)² + r²)dθ.
Pero dr / dθ = - sen θ.
Entonces el diferencial de longitud de arco anterior queda
ds = √(( - sen θ)² + (1 + cos θ)²)dθ = √(sen²θ + 1 + 2cos θ + cos²θ)dθ = √(2 + 2cos θ)dθ = √(2(1 + cos θ))dθ
Pero mediante las identidades del ángulo doble del coseno, se obtiene que
1 + cos θ = 2·cos²(θ / 2)
y por consiguiente,
ds = √(4·cos²(θ / 2))dθ = |2·cos(θ / 2)|dθ
Entonces ds = 2·cos(θ / 2)dθ en la mitad superior de la cardioide, donde 0 ≤ θ ≤ π, y así, cos(θ / 2) ≥ 0.
Por lo tanto,
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Π. . .
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. . .
. . π
s = 2 ∫ 2·cos(θ / 2)dθ = 8·[sen (θ / 2)] = 8.
. . .
. 0. .
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0
Saludos.
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