El axioma consiste en demostrar que (α + β)U = αU + βU y lo demostramos sustituyendo en cada lado de la ecuación donde obtenemos que.
Con estos vectores se cumple la ley de cerradura, que establece que sean dos vectores que pertenecen a un espacio vectorial, el vector resultante de la suma de los mismos pertenece también al espacio vectorialEl axioma 8 de espacio vectorial denominado ley distributiva : establece que sea un elemento U del espacio vectorial V y dos escalares de su campo α, β entonces, se cumple que : (α + β)U = αU + βUTambién sabemos que la multiplicación de vectores por escalares, se multiplica cada componente del vector por el escalar y la suma de vectores se hace componente a componente.
Procedemos entonces a calcular cada parte de axioma donde tenemos dos escalares y un vector, para luego demostrar que son iguales : (α + β)U = (8 + 3) * = 11 * = ( * * )Por otro lado : αU + βU = 8 * + 3 * = + = ( * * * )Por lo tanto de ( * * ) y ( * * * ) tenemos que>(α + β)U = = αU + βUPor transitividad : (α + β)U = αU + βUEl axioma 1 de un espacio vectorial indica que : sean dos vectores que pertenecen a un espacio vectorial, el vector resultante de la suma de los mismos pertenece también al espacio vectorial, es decir, sea U1 y U2 elementos de un espacio vectorial, entonces : U1 + U2 = U3 pertenece también al espacio vectorial.
Tenemos que los vectores U = ; W = ; V = pertenecen al espacio vectorialPara demostrar el axioma tomamos U + WU + W = + = = Vy ya dijimos que V pertenece al espacio vectorial, por lo tanto vemos que con estos vectores se cumple la ley de cerradura.