1. Calcular la derivada implicita de la siguiente ecuacion : x ^ 2 y ^ 3 + y ^ 2 - 3x = x + y 2. Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función : f (x) = (x - 5) (x ^ 2) 3. Con un cartón de 8X6 metros se pretende construir una caja sin tapa, de volumen máximo. Hallar las dimensiones de dicha caja para obtener su volumen máximo.
ax² + bx + c = 0
En resumen
Derivada implícita.
Derivada implícita.
Solución : Derivamos ;
dy / dx x ^ 2 y ^ 3 + y ^ 2 - 3x = dy / dx x + y
dy / dx(x ^ 2 y ^ 3 + y ^ 2 - 3x) = 2xy ^ 3 + 3y ^ 2 dy / dx (y) x ^ 2 + 2y dy / dx (y) - 3
dy / dx (x + y) = 1 + dy / dx(y)
2xy ^ 3 + 3y ^ 2 dy / dx (y) x ^ 2 + 2y dy / dx (y) - 3 = 1 + dy / dx (y) - 3
Que es igual a escribir :
2xy ^ 3 + 3y ^ 2 y'x ^ 2 + 2yy' - 3 = 1 + y'
Despejamos y’ ; 2xy ^ 3 + 3y ^ 2 y'x ^ 2 + 2yy' - 3 = 1 + y'
Restamos en ambos lados 2xy ^ 3 ;
2xy ^ 3 + 3y ^ 2 y ^ ' x ^ 2 + 2yy ^ ' - 3 - 2xy ^ 3 = 1 + y ^ ' - 2xy ^ 3
Simplificamos ; 3y ^ 2 y ^ ' x ^ 2 + 2yy ^ ' - 3 = 1 + y ^ ' - 2xy ^ 3
Sumamos en ambos lados 3 ;
3y ^ 2 y ^ ' x ^ 2 + 2yy ^ ' - 3 + 3 = 1 + y ^ ' - 2xy ^ 3 + 3
Simplificamos ;
3y ^ 2 y ^ ' x ^ 2 + 2yy ^ ' = y ^ ' + 4 - 2xy ^ 3
Restamos en ambos lados y’ ;
3y ^ 2 y ^ ' x ^ 2 + 2yy ^ ' - y ^ ' = y ^ ' + 4 - 2xy ^ 3 - y'
Simplificamos ;
3y ^ 2 y ^ ' x ^ 2 + 2yy ^ ' - y ^ ' = 4 - 2xy ^ 3
Factorizamos :
3y ^ 2 y ^ ' x ^ 2 + 2yy ^ ' - y ^ ' = 4 - 2xy ^ 3
Factorizamos el término en común ;
y'(3x ^ 2 y ^ 2 + 2y - 1) = 4 - 2xy ^ 3
Dividimos en ambos lados 3x ^ 2 y ^ 2 + 2y - 1 ;
(y'(3x ^ 2 y ^ 2 + 2y - 1)) / (3x ^ 2 y ^ 2 + 2y - 1) = 4 / (3x ^ 2 y ^ 2 + 2y - 1) - (2xy ^ 3) / (3x ^ 2 y ^ 2 + 2y - 1)
Simplificamos ;
y'(4 - 2xy ^ 3) / (3x ^ 2 y ^ 2 + 2y - 1)
Respuesta : dy / dx (y) = (4 - 2xy ^ 3) / (3x ^ 2 y ^ 2 + 2y - 1).
1) calcular la derivada implicita = ?
X²y³ + y² - 3x = x + y x² * 3y² * dy / dx + 2x * y³ + 2ydy / dx - 3 = 1 + dy / dx ( 3x²y² + 2y - 1 ) * dy / dx = (4 - 2xy³) dy / dx = ( 4 - 2xy³) / (3x²y² + 2y - 1 ) .
2) Hallar máximos , mínimos y puntos de inflexión = ?
F(x) = (x - 5) * x ^ 2 = x³ - 5x² f'(x) = 3x² - 10x = 0 x = 0 x = 10 / 3 x = 0 es un máximo( cambio de creciente a decreciente) y x = 10 / 3( cambio de decreciente a creciente ) es un mínimo .
F'( - 1) = 13 f'(1) = - 7 f'( - 4) = 88 f''(x) = 6x - 10 = 0 x = 5 / 3 es un punto de inflexión , porque cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo.
F''( 1 ) = 6 * 1 - 10 = - 4 cóncava hacia abajo f''( 2) = 6 * 2 - 10 = 2 cóncava hacia arriba .
3) un cartón de 8x 6 metros .
Caja sin tapas .
Dimensiones de la caja = ?
Maximo volumen V = ( 8 - 2x ) * ( 6 - 2x ) * x Largo = 8 - 2x ancho = 6 - 2x altura = x V(x) = 48x - 28x² + 4x³ V'(x) = 48 - 56x + 12x² = 0 x = 1.
13 x = 3.
53 al evaluar en la primera derivada se observa que en x = 1.
13 pasa de creciente a decreciente y en x = 3.
53 pasa de decreciente a creciente .
En x = 1.
13 se presenta un máximo y en x = 3.
53 hay un mínimo .
Para que el volumen sea máximo de Vmax = 24.
258 m³ Largo = 8 - 2 * 1.
13 = 5.
74 m ancho = 6 - 2 * 1.
13 = 3.
74 m altura = 1.
13 m .
Respuesta : Sabemos que el área se va a construir con 192 p2 ¿qué dimensiones debe tener la caja para que su volumen sea el máximo y cuál es el volumen máximo? V = L² * h. Sabemos que el área utilizada es de : 192 = L²…
Haber el área de la caja es de 48m ^ 2 si lo divides entre 5 no te da exacto, pero si divides 45 entre 5 da 9m ^ 2 que tendría que tener cada lado de la caja, la raíz cuadrada de 9 es 3, con lo cual serían de 3x3 metros…
La dimensiones de la caja a construir para obtener un volumen máximo son : Largo = 4. 44 mAncho = 2. 44 mAlto = 0. 78 mExplicación paso a paso : Datos ; cartón 6x4Pariendo de la imagen adjunta ; largo : 6 - 2xancho : 4…