La posición de una partícula que se mueve en linea recta esta definida por la relación x = t ^ 3 - tx ^ 2 - 15x + 40 en la que "x" esta expresada en pies y "t" en segundos?

Veamos.

La ecuación parece no estar bien escrita.

Faltaría t en el término - 15x

Según entiendo es :

x = t³ - t² - 15 t + 40 ; si es así, resuelvo

a) La velocidad es la derivada de la posición :

v = dx / dt = 3 t² - 2 t - 15 ; igualamos a cero.

Las raíces de la ecuación de segundo grado resultante son :

t = 2, 59 s

La otra solución debe desecharse porque es negativa.

B) La distancia recorrida es la diferencia entre las posiciones inicial y final, en valor absoluto

Posición inicial : t = 0, x = 40 m

Posición para t = 2, 59 s ; x = 2, 59³ - 2, 59² - 15 .

2, 59 + 40 = 11, 82 m

Posición = 11, 82 m

d = 11, 82 - 40 m = - 28, 2 m (implica que retrocede)

La distancia es positiva = 28, 2 m

c) la aceleración es la derivada de la velocidad :

a = dv / dt = 6 t - 2

a = 6 .

2, 59 - 2 = 13, 54 m / s²

d) x(4) = 4³ - 4² - 15 .

4 + 40 = 28 m

x(6) = 6³ - 6² - 15 .

6 + 40 = 130 m

La distancia recorrida es x(6) - x(4) = 130 - 28 = 102 m

Saludos Herminio.