Para hallar la respuesta a esta pregunta debemos determinar que afirmaciones son verdaderas, analizando las características de los polígonos que forman los dos cuadrados del enunciado.
Sabemos que ABCD y AECF son cuadrados ubicados en planos perpendiculares con una diagonal común, es decir que son congruentes.
Si suponemos que los lados de los cuadrados miden "b", entonces CF = CB = b y la diagonal AC mide b√2
Además, si M es el punto de intersección de las diagonales DB y FE, siendo FE es una diagonal del cuadrado AECF y DB una diagonal del cuadrado ABCD, se tiene que BM = FM = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bb%20%5Csqrt%7B2%7D%20%7D%7B2%7D%20" />
Ahora, si trazamos una línea entre F y B, obtendremos el triángulo cuadrado FMB con el que podemos hallar el valor de FB utilizando el teorema de Pitágoras que dice que :
H² = C² + C²
FB² = MF² + MB²
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20FB%5E%7B2%7D%20%3D%20%28%5Cfrac%7Bb%20%20%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%29%5E%7B2%7D%20%2B%20%20%28%5Cfrac%7Bb%20%20%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%29%5E%7B2%7D" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=FB%5E%7B2%7D%20%3D%202%28%5Cfrac%7Bb%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%29%5E%7B2%7D" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=FB%5E%7B2%7D%20%3D%202%5Cfrac%7Bb%5E%7B2%7D.2%7D%7B4%7D" />
FB² = b²
FB = b
Por lo que FB = CF = CB = b cm.
Ahora.
I. Esta afirmación es falsa ya que, si FB = CF = CB = b el triángulo es equilatero y no rectángulo.
II. Esta
afirmación es verdadera ya que, si decimos que uno de los lados de los
cuadrados mide "b" entonces FC = CE = EA = AF = CD = DA = AB = BC = b.
III. Esta
afirmación tambien es verdadera ya que, el triángulo FMB es un
triángulo isósceles, es decir que sus ángulos miden 45°.
Entonces FMB =
FMD = DME = EMB y ∡BFD = ∡FDE = ∡DEB = ∡EDF = 90°
Como solo II y III son verdaderas, la respuesta correcta es la Opcion D
Saludos!
Prueba de Selección Universitaria PSU Chile 2018 : Matemáticas.
