Sea <img src="https://tex.z-dn.net/?f=F%28x%29%20%3D%20%5Cfrac%7Bf%28x%29%7D%7Bg%28x%29%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D-x-12%7D%7Bx%5E%7B2%7D-2x-8%7D" /> entonces : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=g%28x%29%3Dx%5E%7B2%7D-x-12" /> y <img src="https://tex.z-dn.net/?f=h%28x%29%3Dx%5E%7B2%7D-2x-8" />1) Las raíces de la función <img src="https://tex.z-dn.net/?f=g" /> son aquellos puntos donde <img src="https://tex.z-dn.net/?f=g%28x%29%3D0" />.
Es decir, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%5E%7B2%7D-x-12%20%3D%200" />.
Para resolver esta ecuación se aplica la fórmula resolvente.
Esta nos da dos soluciones : - 3 y 4.
Por lo tanto, las raíces son x = - 3 y x = 4.
La función es polinómica, y el dominio de todas las funciones polinómicas es el conjunto de los números reales.
Entonces, el dominio es el conjunto de los números reales.
2)El vértice de <img src="https://tex.z-dn.net/?f=h" /> es el punto mínimo o máximo de la función.
La fórmula para hallar el valor <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x" /> del vértice de una cuadrática es <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B-b%7D%7B2a%7D" />, que en este caso equivale a 4 / 2 = 2.
Para hallar el valor <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y" /> del vértice, se reemplaza el [img = 10] encontrado en la fórmula original : [img = 11].
Por tanto, el vértice es (2 ; - 8).
El rango de una función es el conjunto de valores de [img = 12] que asume dicha función.
En este caso, la función tiene un mínimo en [img = 13] (es el vértice que acabamos de encontrar) y luego asciende infinitamente.
Entonces, el rango es [ - 8 ; + ∞).
3) Siendo [img = 14] una función racional, el único punto donde no está definida es donde [img = 15] vale cero.
Aplicamos la resolvente y así averiguamos que la función [img = 16] vale cero en x = - 2 y x = 4.
Por lo tanto, el dominio de la función [img = 17] es el conjunto de los reales, excepto por esos dos puntos.
Dicho de otra forma, el dominio es ( - ∞ ; - 2)∪( - 2 ; 4)∪(4 ; + ∞).
El rango es ( - ∞ ; - 1)∪( - 1 ; 1.
167)∪(1.
167 ; + ∞).
4) Decimos que la función es discontinua porque existen puntos dentro del límite inferior y superior del dominio donde la función no está definida.
5) Existe una asíntota horizontal en [img = 18] porque [img = 19].
Existe una asíntota vertical en [img = 20] porque [img = 21].
6) Los límites laterales difieren, como se expresó en el inciso anterior (uno tiende al infinito positivo y otro al infinito negativo).
Por lo tanto, el límite no existe.