. La ecuación diferencial (3xy)dx + (3x ^ 2 )dy = 0, es inexacta puesto que ∂M / ∂y≠∂N / ∂x, pero se puede convertir en una ecuación exacta, PORQUE al multiplicar la ecuación por el factor μ(y) = 1 / ?

Para verificar queμ(y) = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%20%7B%20y%5E%7B-3%7D%7D%20" /> es el factor que vuelve la ED Exacta, vamos a calcular primero, ∂M / ∂y y∂N / ∂x, siendo

M = (3x²)

N = 3xy

∂M / ∂y = ∂(3x²) / ∂y = 0

∂N / ∂x = ∂3xy / ∂x = 3y

De esta forma si igualamos las parciales nos daremos cuenta que∂M / ∂y≠∂N / ∂x.

Entonces la teoria nos dice que al multiplicar la ED por el factor integrante la ecuación debe ser exacta.

Entonces vamos a multiplicar la ED porμ(y)

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%20%7B%20y%5E%7B-3%7D%7D%20" />(3xy)dx + <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%20%7B%20y%5E%7B-3%7D%7D%20" />(3x ^ 2 )dy = 0

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B3xy%7D%20%7B%20y%5E%7B-3%7D%7D%20dx%2B%20%5Cfrac%7B3%20x%5E%7B2%7D%20%7D%20%7B%20y%5E%7B-3%7D%7Ddy" /> = 0

∂N / ∂x = ∂<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B3xy%7D%20%7B%20y%5E%7B-3%7D%7D%20" /> / ∂x = ∂3xy⁴ / ∂x = 3y⁴

∂M / ∂y = ∂<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B3%20x%5E%7B2%7D%20%7D%20%7B%20y%5E%7B-3%7D%7D" /> / ∂y = ∂3x²y³ / ∂y = 3x²(3)y² = 9x²y²

Podemos notar que al multiplicar el factor integrante que nos da el resultado, las ecuaciones siguen siendo INEXACTAS, por lo que el factor integrante es errado.