Evaluar las siguientes integrales impropias y grafiquelas en Geogebra para determinar si convergen o divergen?

Evaluar la siguiente integral impropia y grafíquela para determinar si convergen o divergen.

Hola!

La función x / e⁻ˣ es continua en todos los Reales, por lo tanto, también lo es en el intervalo (0 ; ∞) ⇒ Que es una Integral Impropia de Primera Especie.

Si f(x) es Continua ∀ x ≥ a ⇒ ∫ₐ∞ f(x) dx = lim b→∞ ∫ₐᵇ f(x) dx ∫ₐ∞ x / e⁻ˣ dx = ∫ₐ∞ x eˣ dx Propiedad de Potencia : 1 / a = a⁻¹ ⇒ 1 / e⁻¹ = e⁻¹⁽⁻ˣ⁾ = eˣ

Debo resolver la integral, para ello aplico Integración por Partes : ∫ u.

V' dx = u.

V - ∫ u'.

V dxu = x ⇒ u' = dxv' = eˣ ⇒ v = ∫ eˣ dx = eˣ⇒ ∫ₐ∞ x eˣ dx = x.

Eˣ - ∫ eˣ dx = x.

Eˣ - eˣ = eˣ(x - 1)

∫ₐ∞ x / e⁻ˣ dx = lim b→∞ eˣ(x - 1)e∞(∞ - 1) - e⁰(0 - 1) = ∞.

∞ - 1( - 1) = ∞ + 1 = ∞

⇒ ∫ₐ∞ x / e⁻ˣ dx = ∞ ⇒ Diverge

Recordemos que : e∞ = ∞ (ver archivo adjunto con grafico de función exponencial eˣ)∞ × ∞ = ∞Para comprobar que Diverge graficamos la función x / e⁻ˣ (ver archivo adjunto, o lo podemos comprobar en GeoGebra)

Para resolver este tipo de Problemas debemos saber : clasificar las integrales Impropias, si son de Primera o Segunda Especie, propiedades de Potencias, Integración por partes, operaciones con infinitos y resolver limites.

Espero haber ayudado!

Saludos!