Evaluar las siguientes integrales impropias y grafíquelas en GeoGebra para determinar siconvergen o divergen?
Evaluar las siguientes integrales impropias y grafíquelas en GeoGebra para determinar si convergen o divergen. ∫0 ^ ∞〖x ^ 2 e ^ ( - x) dx〗.
Mejor respuesta
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Respuesta
Podemos observar que el dominio de esta función son todos los reales, por ende es impropia solamente en el infinito que representa su limite superior, tenemos entonces : I = ∫x²·e⁻ˣ dxProcedemos a resolver la integral por parte, tenemos que : ∫u·v = u·v - ∫ v·du Procedemos a seleccionar el cambio, tenemos : u = x² → du = 2x dxv = ∫e⁻ˣ dx = - e⁻ˣPlanteamos la integral y tenemos que : I = x²·( - e₋ˣ) - ∫ - e⁻ˣ·2x dx Simplificamos y tenemos que : I = x²·( - e₋ˣ) + 2∫ x·e⁻ˣ dx Ahora debemos volver a aplicar por parte, tenemos que : I₂ = ∫ x·e⁻ˣ dx u = x → dx = du v = ∫ e⁻ˣ dx entonces v = - e⁻ˣ Sustituimos para encontrar nuestra segunda integral y tenemos : I₂ = - x·e⁻ˣ - ∫ - e⁻ˣ dx I₂ = - x·e⁻ˣ - e⁻ˣ Sustituimos en la primera ecuación de la integral y tenemos que : I = x²·( - e₋ˣ) - 2x·e⁻ˣ - 2e⁻ˣ Sacamos factor común e⁻ˣ y tenemos : I = - e⁻ˣ ·(x² + 2x + 2) Ahora evaluamos en los limites superiores e inferiores, recordemos que el limite superior es el infinito por tanto se procede a reemplazarlo por una letra, tenemos : I = [ - e⁻ˣ ·(x² + 2x + 2)] ₀ᵇ Tenemos : I = - e⁻ᵇ ·(b² + 2b + 2) + e⁰·(0² + 2·0 + 2) I = - e⁻ᵇ ·(b² + 2b + 2) + 2 Ahora sacamos el limite cuando b tiende a infinito.
Lim(b - ∞) - e⁻ᵇ ·(b² + 2b + 2) + 2 Procedemos a escribir de forma distinta el limite, tenemos que : lim(b - ∞) (b² + 2b + 2) / ( - eᵇ) + 2 Podemos observar que la función tiene a infinito y que la función exponencial crece más rápido que la función parabólica, por ende el limite tiene a cero, entonces : I = 0 + 2 I = 2 La función converge hacia dos, debido a que la función exponencial crece más rápido.
En la gráfica se puede observar que al infinito tiende a cero pero existe una cantidad de área.
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