Encuentre el valor promedio de la función f(x) = 1 - x ^ 2 en el intervalo [ - 1, 2]?

Para calcular el promedio de una función usamos la siguiente fórmula, la interpretación de la fórmula y la teoría correspondiente tienes que saberla, aunque es bastante intuitiva.

En todo caso, revísala.

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ya nos dan el intervalo, en donde :

a = - 1

b = 2

entonces

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=Promedio%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%282%29-%28-1%29%7D%20%5Cint%5Climits%5E-_2%20%7B1-%20x%5E%7B2%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%20%20%5C%5C%20Promedio%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%5Cint%5Climits%5E-_2%20%7B1-%20x%5E%7B2%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%28x-%20%5Cfrac%7B%20x%5E%7B3%7D%20%7D%7B3%7D%29%20%5D%20%5Climits%5E-_2%0A%0A" />

Usando el teorema fundamental del cálculo

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=F%28b%29-F%28a%29%20%5C%5C%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%28%282%29-%20%5Cfrac%7B%20%282%29%5E%7B3%7D%20%7D%7B3%7D%20%29%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%28%28-1%29-%20%5Cfrac%7B%20%28-1%29%5E%7B3%7D%20%7D%7B3%7D%20%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%28-%20%5Cfrac%7B%202%7D%7B3%7D%20%29%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%28-%20%5Cfrac%7B%202%20%7D%7B3%7D%20%29%20%5C%5C%20-%20%5Cfrac%7B2%7D%7B9%7D%2B%20%20%5Cfrac%7B2%7D%7B9%7D%20%3D0" />

y eso sería todo espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas.