Encuentra el valor de la integral de la siguiente funcion en el intervalo [1, e] : f(t) = [tex] \ frac{log(t)}{t} [ / tex] . La respuesta es [tex] \ frac{1}{2(e - 1)} [ / tex] me explican porfa.
En resumen
Hola. Primero debes cambiar de base logarítmica. Recuerda que para ir de una base ''a'' a una ''c'' debes hacer : <img src="https://tex.z-dn.net/?
Hola.
Primero debes cambiar de base logarítmica.
Recuerda que para ir de una base ''a'' a una ''c'' debes hacer :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20log_%7Ba%7Db%3D%20%5Cfrac%7B%20log_%7Bc%7Db%20%7D%7B%20log_%7Bc%7Da%20%7D%20%20" />
Tomando en cuenta que un logaritmo natural no es otra cosa que un logaritmo en base ''e'', donde e = 2.
718281828.
Usamos :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20log_%7B10%7D%28t%29%3D%20%5Cfrac%7B%20log_%7Be%7D%28t%29%20%7D%7B%20log_%7Be%7D%2810%29%20%7D%20%20%3D%20%5Cfrac%7Bln%28t%29%7D%7Bln%2810%29%7D%20" />
Por lo tanto :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%5Ee_1%20%7B%20%5Cfrac%7Blog%28t%29%7D%7Bt%7D%20%7D%20%5C%2C%20dt%20%3D%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bln%2810%29%7D%20%5Cint%5Climits%5Ee_1%20%7B%20%5Cfrac%7Bln%28t%29%7D%7Bt%7D%20%7D%20%5C%2C%20dt%20" />
De momento solo nos centramos en la antiderivada (integral indefinida) y luego evaluamos los límites de la integral definida.
Aplicamos un cambio de variable :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=u%3Dln%28t%29" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=du%3D%20%5Cfrac%7Bdt%7D%7Bt%7D%20" />
Entonces la antiderivada nos queda :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bln%2810%29%7D%20%20%5Cint%20%7B%20%5Cfrac%7Bln%28t%29%7D%7Bt%7D%20%7D%20%5C%2C%20dt%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bln%2810%29%7D%20%5Cint%20%7Bu%7D%20%5C%2C%20du%3D%20%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bln%2810%29%7D%29%28%20%20%5Cfrac%7B%20u%5E%7B2%7D%20%7D%7B2%7D%7D%20%29%3D%20%5Cfrac%7B%20u%5E%7B2%7D%20%7D%7B2ln%2810%29%7D%20" />
Si regresamos a la variable original ''t'' llegamos a :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%20%28ln%28t%29%29%5E%7B2%7D%20%7D%7B2ln%2810%29%7D%20" />
Y para encontrar el valor de la integral definida entre los límites [1, e], usamos el teorema fundamental del cálculo :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%5Ea_b%20%7Bf%28x%29%7D%20%5C%2C%20dx%20%3DF%28b%29-F%28a%29" />
Donde ''F(b)'' y ''F(a)'' son las antiderivadas de f(x) evaluadas en el límite superior e inferior respectivamente :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%20%5Cint%5Climits%5Ee_1%20%7B%20%5Cfrac%7Blog%28t%29%7D%7Bt%7D%20%7D%20%5C%2C%20dt%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2ln%2810%29%7D%5B%28ln%28e%29%29%5E%7B2%7D-%28%28ln%281%29%5E%7B2%7D%29%5D%20" />
El logaritmo natural de ''e'' es 1 y el logaritmo natural de 1 es 0.
Reemplazando esto :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2ln%2810%29%7D%28%201%5E%7B2%7D-%200%5E%7B2%7D%20%29%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2ln%2810%29%7D%20%20%20" />
Concluimos que :
[img = 10]
Un saludo.