Dos números suman 20, halla dichos números sabiendo que el producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro sea máximo?

Respuesta : 8 y 12.

Explicación : Sean x, y.

Como suman 20 podemos escribir que x + y = 20, o bien, y = 20 – x.

El producto del cuadrado de uno de ellos (por ejemplo x) por el cubo del otro se escribe

P(x) = x²·y³ = [sustituyendo y = 20 – x] = x²·(20 - x)³

Derivando,

P’(x) = 2x·(20 - x)³ + x²·3·(20 - x)²·( - 1) = [sacando factor común x(20 - x)²] = x(20 - x)²(2(20 - x) - 3x) = x(20 - x)²(40 - 5x)

Igualando a cero para encontrar máximos o mínimos :

P’(x) = x(20 - x)²(40 - 5x) = 0

Ecuación que tiene como soluciones las soluciones de cada uno de los factores igualados a cero, es decir,

x = 0 ; 20 - x = 0, x = 20

40 - 5x = 0, x = 8

Para x = 0 y para x = 20 el producto es trivialmente mínimo y para x = 8, la segunda derivada es

P”(x) = (20 - x)²(40 - 5x) + x·( - 2)(20 - x)(40 - 5x) + x(20 - x)²( - 5)

P”(8) = 12 ^ 2·0 + x·( - 2)(20 - x)·0 - 40·12 ^ 2 < 0

luego para x = 8 P(x) presenta un máximo.

Y los números pedidos son 8 y 12.