1. calcular la integral : ∫(x² + 3)⁵ 2xdx =2?

Haber, para el primero,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint%7B%28x%5E%7B2%7D%2B3%29%5E%7B5%7D2x%7Ddx" />

para ésta integral tienes dos caminos, el primero sería "abrir" o desarrollar el binomio a la quinta potencia, puedes usar el triángulo de Pascal si no recuerdas como hacerlo, y el otro camino es que usemos los métodos propios de la integración.

En éste caso, sería una sustitución,

podemos considerar una sustitución,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=u%3Dx%5E%7B2%7D%2B3" />

ahora lo derivamos,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=du%3D2xdx" />

¿ningún problema, verdad?

, de aquí despejamos el diferencial de equis,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=dx%3D%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7Bdu%7D%7B2x%7D" />

ahora, si con éstos datos armamos la nueva integral,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint%7B%28u%29%5E%7B5%7D%282x%29%7D%5Cfrac%7Bdu%7D%7B2x%7D%3D%5Cint%7Bu%5E%7B5%7D%7Ddu" />

y ésta integral ya es mucho más fácil, porque usamos la integral de la potencia, haber,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint%7Bx%5E%7Bn%7D%7Ddx%3D%5Cfrac%7Bx%5E%7Bn%2B1%7D%7D%7Bn%2B1%7D%2BC" />

para usar éste caso entenderás que "n" no puede ser - 1, el caso particular cuando n = - 1 es otra integral.

Pero eso no nos interesa por ahora, aquí indetificas que n = 5, entonces

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint%7Bu%5E%7B5%7D%7Ddu%3D%5Cfrac%7Bu%5E%7B5%2B1%7D%7D%7B5%2B1%7D%2BC%3D%5Cfrac%7Bu%5E%7B6%7D%7D%7B6%7D%2BC" />

ahora debemos volver a la variable original, es decir la sustituci´n que hicismos, entonces,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint%7B%28x%5E%7B2%7D%2B3%29%5E%7B5%7D2x%7Ddx%3D%5Cfrac%7B%28x%5E%7B2%7D%2B3%29%5E%7B6%7D%7D%7B6%7D%2BC" />

y eso sería todo.

Haber, la segunda quiero que la hagas tu, la pista que te doy es has una sustitución : u = 2 + 3x, deriva, despeja, y luego reemplaza en la integral.

Aquí vamos a usar el caso particular del que te hablé,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint%7Bx%5E%7B-1%7D%7Ddx%3D%5Cint%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%7Ddx%3D%5Cln%7Cx%7C%2BC" />

y el problema se acaba.

Para el siguiente has lo mismo, consideras u = 2x - 1 derivas, despejas, reemplazas.

Y armas la integral.

Me parece que te queda una integral para usar la integral de la potencia.

El primer caso que vimos,

para el siguiente de igual manera.

Y para el último, ,

es un caso, muy importante que sepas manejar.

Primero, recordarás la derivada de un logaritmo natiural,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28%5Cln%7Cx%7C%29%27%3D%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7Bx%27%7D%7Bx%7D" />

te acuerdas?

Entonces, usando el primer teorema fundamental del cálculo,

[img = 10]

si integro una derivada, tranquilamente ya se su primitiva, en el último ejercicio si te das cuenta,

[img = 11]

entonces,

[img = 12]

si ¿verdad?

, si derivo ese resultado debo obtener lo que está dentro de la integral.

Y listo.

Espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas.