A) La velocidad del cuerpo
en el momento del lanzamiento.
Compárela con la velocidad de escape desde la
superficie terrestre.
La velocidad en el momento
de lanzamiento se calcula mediante un balance de energía :
Em = Ec + Ep
Dónde :
Em es la energía mecánica.
Em = - G * M * m / (r + h)
Ec es la energía cinética.
Ec = m * v ^ 2 / 2
Ep es la energía potencial.
Ep = - G * M * m / r
Sustituyendo en la ecuación : - G * M * m / (r + h) = m * v ^ 2 / 2 - G * M * m / r
Despejando la velocidad :
v = √2 * G * m * [1 / r – (1 / r + h)]
Sustituyendo los valores en
la ecuación :
v = √2 * (6, 67 * 10 ^ - 11) * (5, 97 * 10 ^ 24) * {1 / (6, 37 * 10 ^ 6) – [1 / (6, 37 * 10 ^ 6) +
(599 * 10 ^ 3)]}
v = 3016, 5 m / s
Para resolver este problema
la condición es que la energía mecánica es nula.
Em = 0
Ec + Ep = 0
m * vd ^ 2 / 2 – G * M * m / r = 0
vd ^ 2 / 2 - G * M / r = 0
vd = √2 * G * M / r
Sustituyendo los valores :
vd = √2 * (6, 67 * 10 ^ - 11) * ( 5, 97 * 10 ^ 24) / (6, 37 * 10 ^ 6)
vd = 11181, 38 m / s
La relación entre la
velocidad de despegue y la velocidad de escape es :
v / vp = 3016, 5 / 11181, 38 = 0, 27
b) La distancia a la que se
encuentra el cohete, con respecto al centro de la Tierra, cuando su velocidad
se ha reducido en un 10 % con respecto a su velocidad de lanzamiento.
Se tiene que v’ = 0, 9 * v
Se aplica una conservación
de energía para cuando r = Rtierra y r = R.
Em1 = Em2
Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2
Calculando por separado :
Ec1 = v ^ 2 / 2 = (3016, 5) ^ 2 / 2 =
4549636, 125 J
Ep1 = - G * M / Rtierra = - (6, 67 * 10 ^ - 11) * (
5, 97 * 10 ^ 24) / (6, 37 * 10 ^ 6) = - 62511616, 95 J
Em1 = - 57961980, 83
Ec2 = v’ ^ 2 / 2 = (0, 9 * v) ^ 2 / 2 = 0, 81 * (3016, 5) ^ 2 / 2 = 3685205, 261
Ep = - G * M / R = - (6, 67 * 10 ^ - 11) * ( 5, 97 * 10 ^ 24) / R = - (3, 98 * 10 ^ 14) / R
Em2 = 3685205, 261 - (3, 98 * 10 ^ 14) / R
Sustituyendo en el balance
de energía : - 57961980, 83 = 3685205, 261 - (3, 98 * 10 ^ 14) / R
R = 6, 46 * 10 ^ 6 m
PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID
CONVOCATORIA JUN 2013 - 2014 FISICA.