Verificar si (1, 2) es un extremo relativo de la función [tex]f(x) = x ^ 3 - 2x ^ 2 + x + 2[ / tex] Si es un extremo relativo, determinar si es máximo o mínimo?

Respuesta : 1 / 3 es un máximo y 1 es un mínimoExplicación paso a paso : Primero tenemos que hallar los puntos críticos de la función, que son aquellos en los que la primer derivada se hace cero o no existe.

Esos son los únicos posibles máximos o mínimos relativos.

Derivo la función : Me queda 3x ^ 2 - 2 * 2x + 1 es decir 3x ^ 2 - 4x + 1Ahora la igualo a cero (vemos que es un polinomio y por lo tanto una función continua la derivada existe para todos los valores de x)Usamos la fórmula de la resolventex = 4 + - raízde(16 - 12) todo sobre 2 * 3 es decir x = 4 + - 2 todo sobre 6x = 1 / 3 o x = 1Ahora debemos evaluar a la derivada, para ver si crece o decrece en los intervalos ( - ∞, 1 / 3) (1 / 3, 1) y (1, + ∞)Elijo un número en el intervalo ( - ∞, 1 / 3), por ejemplo el cero.

3 * 0 ^ 2 - 4 * 0 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1.

Como es un número positivo quiere decir que la función crece en todo el intervalo.

Elijo un número en el intervalo (1 / 3, 1) por ejemplo el 2 / 3.

3 * (2 / 3) ^ 2 - 4 * (2 / 3) + 1 = 3 * (4 / 9) - 8 / 3 + 1 = 4 / 3 - 8 / 3 + 1 = - 4 / 3 + 1 = - 1 / 3.

Como es negativo la función decrece en el intervalo.

Elijo un número en el intervalo (1, + ∞), por ejemplo el 2.

Queda 3 * 2 ^ 2 - 4 * 2 + 1 = 3 * 4 - 8 + 1 = 12 - 7 = 5.

Como es un número positivo la función crece en todo el intervalo.

Luego la función crece de - ∞ a 1 / 3, decrece de 1 / 3 a 1, y crece de nuevo desde 1 hasta + ∞.

Luego 1 / 3 es un máximo y 1 es un mínimo.

(Ambos son extremos locales ya que la función no alcanza un máximo ni un mínimo absoluto, empieza creciendo desde el menos infinito baja un poco y luego vuelve a subir y crece hasta más infinito).