Identificar los extremos de la función reconociendo su forma dada o su forma después de completar cuadrados. Verificar los resultados empleando derivadas parciales para localizar los puntos críticos y probar si son extremos relativos. C f(x, y) = √(x ^ 2 + y ^ 2 + 1).
En resumen
Respuesta : f(x, y) = √(x ^ 2 + y ^ 2 + 1)Para determinar los puntos criticos y extremos relativos primero vamos a calcular las derivadas parciales de la función : Derivadas de primer orden.
Respuesta : f(x, y) = √(x ^ 2 + y ^ 2 + 1)Para determinar los puntos criticos y extremos relativos primero vamos a calcular las derivadas parciales de la función : Derivadas de primer orden.
Df(x, y) / dx = 2x / √(x ^ 2 + y ^ 2 + 1)df(x, y) / dy = 2y(√(x ^ 2 + y ^ 2 + 1)Derivadas de segundo orden.
D²f(x, y) / dx = 2y² - 2 / (x² + y² + 1) ^ 3 / 2d²f(x, y) / dy = 2x² - 2 / (x² + y² + 1) ^ 3 / 2Derivada cruzada.
D²f(x, y) / dx dy = - 2x / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1)Ahora que ya conocemos las derivadas parciales y cruzadas, vamos a buscar los puntos críticos, igualando las derivadas de primer orden a cero : df(x, y) / dx = 2y² - 2 / (x² + y² + 1) ^ 3 / 2 = 0 df(x, y) / dy = 2x² - 2 / (x² + y² + 1) ^ 3 / 2 = 0 Tenemos que : X = Y Y = 1X = 1 entonces tenemos al punto P(1, 1)Ahora veremos si es un máximo, mínimo o punto de silla.
Calculamos el discriminante : D = fxx * fyy - fxy²D = 2y(√(x ^ 2 + y ^ 2 + 1) * 2x / √(x ^ 2 + y ^ 2 + 1) - ( - 2x / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1))D = 4xy / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) + (2x / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1))D = 4xy - + 2x / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) Evaluando en los puntos : D = 4 + 2 / 3 = 2 En este caso tanto las derivadas de segundo orden como el discriminante son constante, por lo tanto : Sabemos que el discriminaste es positivo y las derivadas de segundo orden son negativos, por lo tanto : podemos concluir que : Es un máximo local!
Recuerda que los puntos críticos (para este caso), son aquellos x = a donde f'(a) = 0 y donde la función f y f' no estén definidas, con la condición quela función f sea diferenciable en a. Los extremos relativos son…
Espero te sirva! Saludos desde Puerto Rico!
Respuesta : 1 / 3 es un máximo y 1 es un mínimoExplicación paso a paso : Primero tenemos que hallar los puntos críticos de la función, que son aquellos en los que la primer derivada se hace cero o no existe. Esos son…