Una progesion geometrica creceinte tiene cinco términos, la razón es igual a la cuarta parte del primer termino y la suma de los dos primeros términos es 24?

Término general de una prog.

Geométrica : an = a₁ · r ⁿ⁻¹

Según enunciado nos dice que :

a₁ + a₂ = 24.

Despejando a₂ = 24 - a₁

También nos dice que .

R = a₁ / 4

Aplicando ahora la fórmula de arriba.

A₂ = a₁ · r ²⁻¹

a₂ = a₁ · r .

Sustituyendo ahora "a₂" y "r".

24 - a₁ = a₁ · a₁ / 4 .

Resolviendo.

96 - 4a₁ = a₁² - - - - - - - - - - - > a₁² + 4a₁ - 96 = 0 .

Para mejor visualización sustituiré a₁ = x .

Quedando.

X² + 4x - 96 = 0

Ecuación de 2º grado a resolver por fórmula general : _______ –b ± √ b² – 4ac

x₁, x₂ = ——————— 2a

x₁ = ( - 4 + 20) / 2 = 8

x₂ = ( - 4 - 20) / 2 = - 12

O sea, tenemos dos soluciones para el primer término a₁

Por tanto podremos realizar dos progresiones distintas pero que cumplen con las condiciones impuestas, veamos con la primera donde a₁ = 8

Si el primer término es 8, como la suma con el siguiente término es 24, el siguiente será 24 - 8 = 16 = a₂

Y de ahí deducimos la razón que será 2 ya que el 2º término se calcula multiplicando el 1º por 2.

Resulta bien simple construir los 5 términos de la progresión ya que el 3º sería 16×2 = 32

El 4º sería 32×2 = 64

Y finalmente el 5º sería 64×2 = 128

Así hallaríamos todos los términos aunque podría haberme apoyado en el término general también pero al ser pocos términos he considerado más práctico calcularlos uno a uno.

Calcular la suma es sumarlos todos, eso te lo dejo a ti, aunque también se puede hacer por la fórmula de suma de términos de una progresión geométrica que dice :

Sn = (an · r - a₁) / (r - 1)

Si sustituimos valores.

Sn = (128·2 - 8) / (2 - 1) = 256 - 8 = 248 es la respuesta.

Para la otra solución de la ecuación ( - 12) te dejo a ti que lo resuelvas según este mismo procedimiento.

Saludos.