Un trozo de alambre de 10 metros de largo se corta en dos piezas, una de las cuales se dobla en un cuadrado y la otra en un circulo ¿ Cómo debe cortarse el alambre para que el área total sea mínima?
Pregunta de Matemáticas · 1 respuesta · 8 votos · mejor respuesta de Marcosoriab
En resumen
Veamos. El perímetro de las dos figuras debe medir 10 m 10 = 4 L + 2π R ; siendo L el lado del cuadrado y R el radio del círculo. La superficie total es S = L² + πR² ; Despejamos L del perímetro : L = 5 / 2 - π R / 2 ; reemplazamos en la superficie.
Veamos.
El perímetro de las dos figuras debe medir 10 m
10 = 4 L + 2π R ; siendo L el lado del cuadrado y R el radio del círculo.
La superficie total es S = L² + πR² ;
Despejamos L del perímetro : L = 5 / 2 - π R / 2 ; reemplazamos en la superficie.
S = (5 / 2 - π R / 2)² + π R² ; ha resultado una función del radio.
Derivamos, igualamos a cero y si hay mínimo la segunda derivada debe ser negativa en el punto crítico.
S ' = 2 (5 / 2 - π R / 2) ( - π / 2) + 2π R = 0
S ' = - π (5 / 2 - π R / 2) + 2π R = 0, implica que R = 5π / (π ^ 2 + 4) = 1, 1325 m
La segunda derivada vale (π² + 4) / 2 positiva, implica mínimo
Superficie mínima = 1, 80 m²
Perímetro del círculo : 2π R = 2π .
1, 1325 = 7, 16 m
Perímetro del cuadrado : 10 - 7, 16 = 2, 84 m
Lado del cuadrado L = 2, 84 / 4 = 0, 71 m
Finalmente debes cortar un trozo de 7, 16 m para el círculo y el resto para el cuadrado.
Saludos Herminio.
Veamos. El perímetro de las dos figuras debe medir 10 m 10 = 4 L + 2π R ; siendo L el lado del cuadrado y R el radio del círculo.
Veamos. Sean x e y las partes a cortar. X el perímetro del cuadrado, y el de la circunferencia El lado del cuadrado es x / 4 ; de modo que S = x² / 16 L = y = 2 π r ; de modo que r = y / (2 π), es el radio S = π r² = y²…
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Respuesta : 150 / 4 = 37. 5cmÁrea : 37. 5(37. 5) = 1406. 25Explicación paso a paso :
Respuesta : A(min) = (4 / 3)[25x - x²] √(2√3)x = 1y = 32Explicación paso a paso : vemos que la longitud total del alambre en la imagen es. 100 = 4x + 3ydespejemos yy = (100 - 4x) / 3. (1)el lado del cuadrado es xel lado…
Pues mira, primero identificamos con cuanta varilla se hará el cuadrado 5cm - x = perímetro del cuadrado Sabemos que el perímetro del cuadrado es igual a cuatro veces el valor de un lado y el área es lado elevado al…