Un poste de se aparta 10°15'de vertical hacia la región donde está el sol y proyecta una sombra de 40, 75 ft de longitud el ángulo de elevación del sol es de 40°35' encontrar la longitud del poste?

La altura del poste es de aproximadamente 30, 71 feetProcedimiento : Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

En este caso se trata de un triángulo acutángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno - también llamado como ley de senos - Representamos la situación en un imaginario triángulo acutángulo el cual está conformado por el lado AC (b) que representa la altura del poste inclinado, el lado AB (c) que equivale a la longitud que proyecta la sombra del poste sobre la línea del suelo y el lado BC (a) que es la proyección del ángulo de elevación al sol.

Teorema del Seno : El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados, Entonces se cumple la relación : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%20%7B%20%5Cbold%20%20%7B%20%20%5Cfrac%7Ba%7D%7B%20%20%20sen%28%20%5Calpha%20%20%20%20%20%20%20%29%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bb%7D%7B%20sen%28%5Cbeta%20%20%29%20%20%20%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bc%7D%7Bsen%28%5Cgamma%29%7D%20%7D%7D" />Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Hallando el valor del ángulo α - Para conocer la inclinación del posteSucede que el poste al alejarse de la dirección del sol se inclina 10°15' en el sentido de las agujas del reloj con respecto a la línea vertical hacia el sol, es decir se inclina hacia el plano del suelo.

Vamos a calcular la inclinación del posteSi el poste no se hubiese inclinado formaría un ángulo de 90° con el plano del sueloPara sumar o restar ángulos se encolumnan los grados, los minutos y los segundosDonde en este ejercicio se restará 90° 00’ - 10° 15’ Donde como no es posible restar los minutos, convertimos un grado del minuendo en 60 minutos 89° 60’ - 10° 15’ _______ 79° 45’ O lo que es lo mismo<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%20%7B%5Cbold%20%7B%20%5Calpha%20%3D%2090%5C%C2%B0%20-%20%5C%2010%5C%C2%B015%27%20%3D%2079%5C%C2%B045%27%7D%7D" />En donde convertiremos los grados y minutos a grados decimales para resolver el ejercicioSi<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%20%7B%5Cbold%20%7B%20%5Calpha%20%3D%2079%5C%C2%B045%27%7D%7D" />Dejamos los 79° como están, y tomamos los 45' para convertirlos a decimalSabiendo que si <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B%20%5Cbold%7B%20%201%20%5C%20minuto%20%20%3D%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B60%7D%20%5C%20grados%7D%7D" />Multiplicamos<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B%20%5Cbold%7B%20%2045%20%5C%20.%20%20%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B60%7D%20%20%3D%20%5Cfrac%7B45%7D%7B60%7D%20%20%20%20%20%20%7D%7D" />Donde dividimos el numerador entre el denominador<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B%20%5Cbold%7B%20%20%20%5Cfrac%7B45%7D%7B60%7D%20%20%3D%200%2C75%20%20%20%20%7D%7D" />Agregamos el decimal a los 79° Siendo α en grados decimales<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%20%7B%5Cbold%20%7B%20%5Calpha%20%3D%2079%2C75%5C%C2%B0%20%20%7D%7D" />El ángulo de elevación dado por enunciado también está expresado en grados y minutos, lo convertiremos a grados decimalesLo denotaremos como βSi<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%20%7B%5Cbold%20%7B%20%5Cbeta%20%3D%2040%5C%C2%B035%27%7D%7D" />Dejamos los 40° como están, y tomamos los 35' para convertirlos a decimalSiguiendo el mismo procedimiento : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B%20%5Cbold%7B%20%2039%20%5C%20.%20%20%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B60%7D%20%20%3D%20%5Cfrac%7B35%7D%7B60%7D%20%20%20%20%20%20%7D%7D" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B%20%5Cbold%7B%20%20%20%5Cfrac%7B35%7D%7B60%7D%20%20%3D%200%2C58%20%20%20%20%7D%7D" />Agregamos el decimal a los 40° Siendo β en grados decimales[img = 10]Hallando el valor del ángulo γ Por enunciado sabemos un valor de los ángulos del triángulo acutángulo, y hemos hallado al segundo.

Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°Planteamos[img = 11][img = 12][img = 13]Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo[img = 14]Calculando la altura del posteHallando el valor del lado b[img = 15][img = 16][img = 17][img = 18][img = 19][img = 20][img = 21]La altura del poste es de ≅ 30, 71 ftSe adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas.