Un director de un centro comprueba que en colocar 435 alumnos en filas de forma que a la primera fila haya 1 alumno, a la segunda 2, a la tercera 3, y así sucesivamente, caben todos?

Pues efectivamente hay que reconocer eso que quiere hacer el director como una progresión aritmética (PA) donde.

⇒el número de alumnos (435) es la SUMA DE LOS TÉRMINOS de esa progresión

⇒ el primer término <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_1" /> es la primera fila la cual consta de 1 alumno, por tanto : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_1" /> = 1

⇒ la diferencia entre términos consecutivos es 1 ya que las filas / términosvan aumentando en esa cantidad

Con esos datos y dos fórmulas de las PA se puede resolver el ejercicio.

Las incógnitas serán :

⇒ el último término de la progresión<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n" />

⇒ el nº de términos / filas de que consta la progresión "n"

Recurro a la fórmula para hallar el término general de cualquier PA

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%20%3D%20a_1%20%2B%28n-1%29%2Ad" /> .

Sustituyendo los datos conocidos.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%20%3D%201%20%2B%28n-1%29%2A1%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a_n%3D1%2Bn-1%3Dn" />

Es decir que en esta progresión cada término<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n" /> coincide con el nº de orden "n" que dicho término ocupa en la progresión.

Recurro ahora a la fórmula de suma de términos de una PA

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S_n%3D%20%5Cfrac%7B%28a_1%2Ba_n%29%2An%7D%7B2%7D%20" />

.

Sustituyendo los datos conocidos y también sustituyendo .

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n" /> por "n" ya que hemos deducido que es lo mismo.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=435%2A2%3D%20%7B%281%2Bn%29%2An%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20870%3D%20n%5E%7B2%7D%20%2Bn%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20n%5E%7B2%7D%20%2Bn-870%3D0" />

A resolver por fórmula general de ec.

De 2º grado.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=n_1_%2Cn_2%3D%20%5Cfrac%7B%20-b%20%28%2B-%29%20%5Csqrt%7Bb-4ac%7D%20%7D%7B2a%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20n_1%20%3D%20%20%5Cfrac%7B%28-1%2B59%29%7D%7B2%7D%20%3D29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20n_2%20%0A" />

se desestima por salir solución negativa.

Por tanto la respuesta es 29 filas.

Saludos.