Un coronel manda 5050 soldados y quiere formar con ellos un triángulo para una exhibición la primera fila tiene que tener un soldado la segunda dos la tercera tres ¿cuantas filas tiene que haber?

Se resuelve con una progresión aritmética PA donde cada fila (o término de la PA) aumenta una unidad respecto a la anterior que será la diferencia entre términos consecutivos llamada "d".

Tenemos estos datos :

Primer término = a₁ = 1

Diferencia = d = 1

Suma de términos = S = 5050

Nos pide el nº de filas, es decir, el nº de términos que llamamos "n".

Acudiendo y sustituyendo valores en la fórmula para hallar el término general de cualquier PA.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3Da_1%2B%28n-1%29%2Ad%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a_n%3D1%2B%28n-1%29%2A1%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a_n%3Dn" />

Ahora recurro a la fórmula de suma de términos de una PA

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S_n%3D%20%5Cfrac%7B%28a_1%2Ba_n%29%2An%7D%7B2%7D%20" />

Sustituyendo valores conocidos y <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%5C%20%5C%20por%5C%20%5C%20n" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=5050%3D%20%5Cfrac%7B%281%2Bn%29%2An%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%2010100%3Dn%2Bn%5E2%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20n%5E2%2Bn-10100%3D0" />

Aplico la fórmula general de ecuaciones cuadráticas.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20n_%7B1%7D%2C%20n_%7B2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B-b%5Cpm%20%5Csqrt%7B%20b%5E%7B2%7D%20-4ac%7D%0A%7D%7B2a%7D%20" />

De donde resulta esto :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bn_1%5C%20%3D%5C%20%20%5Cfrac%7B-1%2B201%7D%7B2%7D%5C%20%3D%5C%20100%20%7D%20%5Catop%20%7Bn_2%5C%20%3D%5C%20%20%5Cfrac%7B-1-201%7D%7B2%7D%5C%20%3D%5C%20-101%20%7D%7D%20%5Cright.%20" />

Como habla de filas de soldados, la única solución válida para el ejercicio es la positiva, por tanto la respuesta es 100 filas

Saludos.