Tres enteros positivos forman una progresión aritmética de diferencia 11. Si hago la siguiente transformación : El primer número de la progresión lo disminuyo en 6 unidades, El segundo número de la progresión lo disminuyo en una unidad El tercero lo duplico Estos tres valores resultantes forman ahora una progresión geométrica. Determine la suma de los 3 números de la progresión aritmética original.
En resumen
Tres enteros positivos forman una progresión aritmética de diferencia 11. Si hago la siguiente transformación : El primer número de la progresión lo disminuyo en 6 unidades, El segundo número de la progresión lo disminuyo en una unidad .
Tres enteros positivos forman una progresión aritmética de diferencia 11.
Si hago la siguiente transformación :
El primer número de la progresión lo disminuyo en 6 unidades, El segundo número de la progresión lo disminuyo en una unidad
.
El tercero lo duplico Estos tres valores resultantes forman ahora una progresión geométrica.
Determine la suma de los 3 números de la progresión aritmética original.
_______________________________________________________Atendiendo a la función del dato "diferencia" en una progresión aritmética, que es el número que se suma a cada término para obtener el siguiente, se pueden representar los tres números originales de este modo : término de la PA = x término de la PA = x + 11 término de la PA = x + 11 + 11 = x + 22Ahora se transforman según el texto : 1º término "x" pasa a ser "x - 6" 2º término "x + 11" se convierte en "x + 11 - 1" = "x + 10"3º término "x + 22" pasa a valer : "2·(x + 22 = 2x + 44"Ahora tenemos una progresión geométrica con esos nuevos términos y en ella sabemos que cada término se obtiene a partir de multipilcar el anterior por un número llamado razón "r".
Así pues tenemos estas ecuaciones : (x - 6) * r = x + 10 .
Despejando "r" tengo.
R = (x + 10) / (x - 6)(x + 10) * r = 2x + 44 .
Despejando "r" tengo.
R = (2x + 44) / (x + 10)Se igualan las partes derechas ya que en la izquierda está "r".
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7Bx%2B10%7D%7Bx-6%7D%3D%20%5Cdfrac%7B2x%2B44%7D%7Bx%2B10%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20x%5E2%2B20x%2B100%3D2x%5E2%2B44x-12x-264%5C%5C%20%5C%5C%20x%5E2%2B12x-364%3D0" />Resuelvo por fórmula general de ecuaciones cuadráticas.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x_1_%2Cx_2%3D%20%5Cdfrac%7B%20-b%20%5Cpm%20%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%20%7D%7B2a%7D%20" />x₁ = ( - 12 + 40) / 2 = 14x₂ = ( - 12 - 40) / 2 = - 26Como primera solución escojo la de signo positivo, es decir, 14 sería el primer número de la progresión.
14 + 11 = 25 sería el segundo número de la progresión25 + 11 = 36 sería el tercer número de la progresión.
Y su suma, tal como nos pide la tarea, 14 + 25 + 36 = 75 es la respuesta.
La segunda solución sale negativa ( - 26) y se desecha porque en el texto nos exige que los enteros sean positivos.
Saludos.
Sabiendo que tres números forman una progresión geométrica sean los números xr , x. R², xr³ donde r : es constante (razón ) nota : se dice que los números están en progresión geométrica si siguen un patrón osea tiene…
Progresion aritmetica : si la diferencia entre cualquiera de sus terminos es una constante. Progresion geometrica : cuando cada uno de sus terminos se multiplica o divide por una constante para obtener el siguiente.