[tex] \ frac{ \ tan(x) - \ cot(x) }{ \ sin(x ) - cos(x) } = \ sec(x) + \ csc(x) [ / tex]?
[tex] \ frac{ \ tan(x) - \ cot(x) }{ \ sin(x ) - cos(x) } = \ sec(x) + \ csc(x) [ / tex] .
En resumen
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Btan%28x%29%20-%20cot%28x%29%7D%7Bsin%28x%29%20-%20cos%28x%29%7D%20%20%3D%20%20sec%28x%29%20%2B%20csc%28x%29" />Lo que vamos a hacer es demostrar que esa igualdad es cierta y para ello seguiremos tres pasos.
Mejor respuesta
9
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Btan%28x%29%20-%20cot%28x%29%7D%7Bsin%28x%29%20-%20cos%28x%29%7D%20%20%3D%20%20sec%28x%29%20%2B%20csc%28x%29" />Lo que vamos a hacer es demostrar que esa igualdad es cierta y para ello seguiremos tres pasos.
1) Elegimos la expresión que a simple vista parezca más difícil.
2) Pasamos todo a senos y cosenos.
3) Aplicamos identidades trigonométricas y simplificamos la expresión.
1) Elegimos la expresión más difícil.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Btan%28x%29%20-%20cot%28x%29%7D%7Bsin%28x%29%20-%20cos%28x%29%7D%20" />2) Pasamos todo a senos y cosenos.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=tan%28x%20%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bsen%28x%29%7D%7Bcos%28x%29%7D%20" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=cot%28x%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bcos%28x%29%7D%7Bsin%28x%29%7D%20" />Aplicamos eso <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%20%5Cfrac%7Bsin%28x%29%7D%7Bcos%28x%29%7D%20%20-%20%20%5Cfrac%7Bcos%28x%29%7D%7Bsin%28x%29%7D%20%7D%7Bsin%28x%29%20-%20cos%28x%29%7D%20" />3) Aplicamos identidades trigonométricas y simplificamos.
Sumamos las expresiones del numerador<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%20%5Cfrac%7B%20%7Bsin%7D%5E%7B2%7D%20%28x%29%20-%20%20%7Bcos%7D%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%7Bsin%28x%29cos%28x%29%7D%20%7D%7Bsin%28x%29%20-%20cos%28x%29%7D%20" />Ahora usamos la regla de las proporciones múltiples.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%20%7Bsin%7D%5E%7B2%7D%20%28x%29%20-%20%20%7Bcos%7D%5E%7B2%7D%20%28x%29%7D%7B%28sin%28x%29cos%28x%29%29%28sin%28x%29%20-%20cos%28x%29%29%7D%20" />Aplicamos diferencia de cuadrados.
(a² - b²) = (a + b)(a - b)<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%28%20%7Bsin%7D%20%28x%29%20-%20%20%7Bcos%7D%28x%29%29%28sin%28x%29%20%20%2B%20cos%28x%29%29%7D%7B%28sin%28x%29cos%28x%29%29%28sin%28x%29%20-%20cos%28x%29%29%7D%20" />Ahora simplificamos la expresión de numerador y denominador.
Sen²(x) - cos²(x)<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bsin%28x%29%20%20%2B%20cos%28x%29%7D%7B%28sin%28x%29cos%28x%29%7D%20" />Ahora separamos en fracciones <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bsin%28x%29%20%7D%7Bsin%28x%29cos%28x%29%7D%20%20%2B%20%20%5Cfrac%7Bcos%28x%29%7D%7Bsin%28x%29cos%28x%29%7D%20" />Ahora simplificamos [img = 10]Ahora sólo aplicamos que.
[img = 11][img = 12]Aplicando[img = 13]Y queda demostrada la identidad trigonométrica.
Espero haberte ayudado.