[tex] 2 ^ {n} ?

Vamos por partes, como el amigo Jack.

Se trata de una ecuación exponencial donde hay que intentar dejar la misma base de potencia tanto en un lado como en el otro (en este caso se vislumbra que será "2"), de ese modo pueden igualarse los exponentes que es donde tenemos la incógnita "n", para ello, tomaré primero la parte izquierda y acudiré a las reglas de potenciación incluidas las potencias de exponente fraccionario que salen a partir de radicales.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%202%5E%7Bn%7D%20%20%20%5Csqrt%7B2%7D%20%3D2%5E%7Bn%7D%20%2A%202%5E%7B1%2F2%7D%20%3D%202%5E%7Bn%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%7D" />

Voy ahora con la parte derecha.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%204%5E%7Bn%7D%20%7D%20%3D%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%202%5E%7B%202%5E%7Bn%7D%20%7D%20%7D%20%3D%202%5E%7B%20%5Cfrac%7B2n%7D%7B3%7D%20%7D%20" />

Al unir de nuevo las dos partes veo que he conseguido ese objetivo.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=2%5E%7B%28n%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%7D%3D2%5E%7B%28%20%5Cfrac%7B2n%7D%7B3%7D%20%29%7D" />

Igualo los exponentes :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B2n%7D%7B3%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%206n%2B3%3D4n%20%5C%5C%20%20%5C%5C%202n%3D-3%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20n%3D-%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20" />

Saludos.