Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollo del mismo) ∂y / ∂x = ( - x) / (y - 2x).
En resumen
Respuesta : debes tener claros los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales Explicación paso a paso : a mi me ayudan ellos + 57 3144936842 superrecomendados.
Respuesta : debes tener claros los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales Explicación paso a paso : a mi me ayudan ellos + 57 3144936842 superrecomendados.
La Ecuación Diferencial (ed) <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbold%7B%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D-%5Cfrac%7Bx%7D%7By-2x%7D%7D" /> es una ed homogenea, cuya solución general es <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbold%7BLn%28%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7By-x%7D%29%2B%5Cfrac%7Bx%7D%7By-x%7D%3DC%7D" />
Explicación :
Una ecuación diferencial (ed) que se expresa de la siguiente manera :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=M_%7B%28x%2Cy%29%7Ddx%2BN_%7B%28x%2Cy%29%7Ddy%3D0" />
en la cual las funciones M y N son homogéneas del mismo grado (n), se denomina ED Homogenea de grado n.
Para su solución se reescribe como una derivada :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D-%5Cfrac%7BM_%7B%28x%2Cy%29%7D%7D%7BN_%7B%28x%2Cy%29%7D%7D" />
Luego, se expresa el lado derecho como una función (y / x) dividiendo cada término entre x elevado al grado de homogeneidad.
Una vez reescrita de la forma descrita, se aplica el siguiente cambio de variable :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbold%7Bv%3D%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%5Cquad%20%5CRightarrow%20%5Cquad%20y%3Dvx%20%5Cquad%20%5CRightarrow%20%7D" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbold%7B%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%3Dv%2Bx%20%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdx%7D%7D" />
Esta nueva ed es de variables separables en v, x.
En el caso que nos ocupa : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D-%5Cfrac%7Bx%7D%7By-2x%7D%20" />
1.
- La ed es homogénea de grado 1 y está escrita como derivada, así que se dividen todos sus términos entre x :
Se sabe que es homogénea de grado uno porque todos sus términos tienen esta potencia.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%7D%7D%7B%28%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%29-2%28%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%7D%29%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%28%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%29-2%7D%20" />
2.
- Se aplica el siguiente cambio de variable :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=v%3D%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%5Cquad%20%5CRightarrow%20%5Cquad%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%3Dv%2Bx%20%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdx%7D" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%28%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%29-2%7D%20%5Cquad%20%5CRightarrow%20" />
[img = 10]
3.
- Se opera para separar las variables y resolver :
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4.
- Integramos para obtener la solución general
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La primera integral se resuelve de manera inmediata, mientras que la segunda se resuelve aplicando el método de cambio de variable :
Segunda integral : u = v - 1 ⇒ du = dv
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La solución general es :
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[img = 21].
Véase la imagen abajo.
SOLUCIÒNHola! : DHaremos el cambio de variable y = ux, entonces y' = u'x + u, reemplazamos .
La solución general de la ecuacion diferencial dada es : y√(1 + x²) + yx² - ylnx = CExplicación paso a paso : Reescribimos la ecuacion diferencial(√(1 + x²) + x² - lnx)dy + (xy / √(1 + x²) + 2xy - y / x)dx =…
SOLUCIÒNHola! : DHaremos el cambio de variable y = ux, entonces y' = u'x + u, reemplazamos .