SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON TRANSFORMADA DE LAPLACE y ^ ´´ - 4y = sen (t) ; y(0) = 1, y ^ '(0) = - 1?

La solución a la ecuación diferencial, tomando en cuenta que y(0) = 1 y'(0) = - 1 es : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%28t%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2A%5Bsen%28t%29-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dsen%282t%29%5D%2Bcos%282t%29-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dsen%282t%29" />Para poder resolver esta ecuación, debemos aplicar la transformada de Laplace, por lo que tendremos que : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27%28t%29-4y%28t%29%3Dsen%28t%29%5C%5C%5C%5CS%5E%7B2%7DY%28S%29-Sy%280%29-y%27%280%29-4%5BY%28S%29%5D%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BS%5E%7B2%7D%2B1%20%7D" />Al tener la nueva ecuación, debemos despejar Y(S), para luego aplicar la anti transformada y obtener el resultado deseado : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=Y%28S%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%28S%5E%7B2%7D%2B4%29%2A%28S%5E%7B2%7D%2B1%29%7D%20%2B%5Cfrac%7BS%7D%7BS%5E%7B2%7D%2B4%7D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7BS%5E%7B2%7D%2B4%7D" />Es importante que trabajemos la solución por cada término, a fin de evitar confusión y de tener el resultado deseado : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=Y%28S%29%3DY%28S%29_%7B1%7D%20%2BY%28S%29_%7B2%7D%20%2BY%28S%29_%7B3%7D%20%5C%5C%5C%5Cy%28t%29%3Dy%28t%29_%7B1%7D%20%2By%28t%29_%7B2%7D%20%2By%28t%29_%7B3%7D" />Para el primer término, debemos descomponer la fracción en suma de fracciones : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B%28S%5E%7B2%7D%2B1%29%2A%28S%5E%7B2%7D%2B4%20%29%7D%20%3D%5Cfrac%7BAS%2BB%7D%7BS%5E%7B2%7D%2B1%7D%20%2B%5Cfrac%7BCS%2BD%7D%7BS%5E%7B2%7D%2B4%7D" />Procedemos a determinar loos valores de A, B, C y D.

Si sumamos las fracciones y factorizamos el denomidador, podremos hallar los valores, tomando en cuenta que solo hay un valor en el término independiente en los demás el coeficiente es 0.

De aquí tendremos 4 ecuaciones para hallar los valores : A + C = 04A + C = 0B + D = 04B + D = 1De aqui tenemos que A y C valen 0, mientras que B tiene un valor de <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D" /> y D vale <img src="https://tex.z-dn.net/?f=-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D" />.

Por lo que tendriamos : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=Y%28S%29_%7B1%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2A%5B%5Cfrac%7B1%7D%7BS%5E%7B2%7D%2B1%20%7D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7BS%5E%7B2%7D%20-4%7D%20%5D" />En la segunda fracción multiplicamos y dividimos por 2 para poder tener una transformada conocida : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=Y%28S%29_%7B1%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2A%5B%5Cfrac%7B1%7D%7BS%5E%7B2%7D%2B1%20%7D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%2A%5Cfrac%7B2%7D%7BS%5E%7B2%7D%2B4%20%7D%20%5D%20%20%5C%5C%5C%5Cy%28t%29_%7B1%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%2A%5Bsen%28t%29-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2Asen%282t%29%5D" />Para el segundo término de nuestra ecuación original, tenemos una transformada que es conocida : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=Y%28S%29_%7B2%7D%3D%5Cfrac%7BS%7D%7BS%5E%7B2%7D%2B4%7D%5C%5C%20%20%5C%5Cy%28t%29_%7B2%7D%20%3Dcos%282t%29" />Para nuestro ultimo término, tenemos que multiplicar y dividir por 2 para generar una transformada conocida : [img = 10]Y nuestra solución final es la siguiente : [img = 11].