Si [tex]sen ^ {3} \ beta cos \ beta + sen \ beta cos ^ {3} \ beta = \ frac{1}{2}tan \ beta [ / tex] determinar el valor de [tex] \ beta [ / tex]?

Hola ,

Voy a reescribir un poco la expresión :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=sen%5E%7B3%7D%20%5Cbeta%20cos%20%5Cbeta%20%2B%20sen%20%5Cbeta%20cos%5E%7B3%7D%20%5Cbeta%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dtan%5Cbeta%20%5C%5C%20%5C%5C%0Asen%5Cbeta%20cos%5Cbeta%20%28sen%5E%7B2%7D%5Cbeta%20%2B%20cos%5E%7B2%7D%5Cbeta%29%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dtan%5Cbeta" />

Hice una factorización conveniente ya que si te fijas, lo que está en el paréntesis es la identidad trigonométrica fundamental :

sen²β + cos²β = 1

Entonces sustituimos con el valor 1 en el paréntesis :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=sen%5Cbeta%20cos%5Cbeta%20%281%29%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dtan%5Cbeta%20%5C%5C%20%5C%5C%0Asen%5Cbeta%20cos%5Cbeta%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bsen%20%20%5Cbeta%20%7D%7B2%20cos%20%5Cbeta%20%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%0Acos%20%5E%7B2%7D%20%5Cbeta%20%20%20%3D%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%0Acos%20%20%5Cbeta%20%20%3D%20%20%20%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B2%7D%20%7D%7B2%7D%20" />

Que ángulo tiene que serβ para que resulte√2 / 2 ?

Por suerte es el ángulo notable 45°.

Por lo tanto :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B%5Cbeta%20%3D%2045%5C%C2%B0%7D" />

Salu2 : ).