Respuesta : Por lo que el valor de la constante c, corresponde a : k = 0, 0526803
Por lo tanto, la masa después de 5 horas corresponde a : x(5) = 40, 5 mm
Explicación paso a paso : Solución planteada : a.
Sea x(t) ; miligramos de material radiactivo en el instante inicial t
La ecuación corresponde a : dy / dx = + kx(t)
Transponiendo términos se tiene ; dy / (x(t)) = + kdt
Aplicando propiedades algebraicas tenemos : ∫dx / (x(t)) = ∫kdx
Resolviendo las integrales se obtiene : In (x(t)) = - kdt - c.
Aplicando propiedades especiales de las integrales contemplamos que x(t) = - ce ^ ( - kt) Por tanto, ésta es la fórmula para la masa de un material radiactivo en algunos momentos t Cuando t = 0 ; se tiene : x(0) = 50 ; Por ende, 50 = c Ahora bien, cuando t = 2 Se tiene x(0) = 40 ; debido a que corresponde al porcentaje que se disminuyó pasadas dos horas en un 10%.
Por lo que la expresión matemática en este caso correspondería así : 40 = ce ^ ( - 2k) 45 = 40 ^ e2k
Aplicando propiedades trigonométricas obtenemos : - 2k = In |45 / 40|
k = in|45 / 40| / ( - 2) Por lo que el valor de la constante c, corresponde a : k = 0, 0526803
Es por ello, que ésta es la fórmula para la masa de un material radiactivo en cualquier momento t en este caso de aplicación.
X(t) = 45e - 0, 0526803t Ahora bien, para hallar la masa después de 5 horas es : x(5) = 45e - 0, 0526803( - 5) Observación : Debo multiplicarlo por - 5, para que la expresión elevada a la e me quede de forma positiva y pueda resolver la situación.
Por lo tanto, la masa después de 5 horas corresponde a : x(5) = 40, 5 mm.