Si a un polígono se le aumenta en 4 el número de lados, entonces la suma de sus ángulos internos se duplica. Hallar el número de vértices del polígono regular.
En resumen
Según la fórmula : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Calpha%20%20_%7Binterno%7D%20%3D180%2A%28n-2%29" /> Donde<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Calpha%20" /> es el valor del ángulo interno de un polígono y<img src="https://tex.z-dn.net/?
Según la fórmula :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Calpha%20%20_%7Binterno%7D%20%3D180%2A%28n-2%29" />
Donde<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Calpha%20" /> es el valor del ángulo interno de un polígono y<img src="https://tex.z-dn.net/?f=n" /> es el número de lados que tiene.
Ahora, si partimos de un polígono cualquiera, sus ángulos internos son :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Calpha%20%20_%7B1%7D%20%3D180%2A%28n-2%29" />
Si aumentamos en 4 el número de lados, sus ángulos se duplican :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=2%2A%5Calpha%20%20_%7B1%7D%20%3D180%2A%28%28n%2B4%29-2%29%0A%0A2%5Calpha%20%20_%7B1%7D%3D180%2A%28n%2B2%29%0A%0A2%5Calpha%20%20_%7B1%7D%3D180n%2B360" />
Si juntamos esta última ecuación con la primera :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B%5Calpha%20%20_%7B1%7D%3D180%2A%28n-2%29%7D%20%5Catop%20%7B2%5Calpha%20%20_%7B1%7D%3D180%2An%2B360%7D%7D%20%5Cright.%20" />
Así, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B%5Calpha%20_%7B1%7D%3D180n-360%7D%20%5Catop%20%7B2%5Calpha%20_%7B1%7D%3D180n%2B360%7D%7D%20%5Cright.%20" />
Resolviendo el sistema por reducción (restamos las dos ecuaciones) :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=-%5Calpha%20_%7B1%7D%3D-720%0A%0A%5Calpha%20_%7B1%7D%3D720" />
Despejando n de la primera ecuación :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=720%3D180n-360%0A%0A1080%3D180n%0A%0An%3D1080%2F180%0A%0An%3D6" />
El polígono que tiene n lados es un hexágono.
Si se aumenta sus lados en 4, obtenemos un decágono, que tiene 10 lados.
Como el número de vértices de un polígono es el mismo que el número de lados, el polígono que obtendremos tiene 10 vértices también.
Respuesta : 180(n + 4 - 2) = 2(180(n - 2))180(n + 2) = 360(n - 2)n + 2 = 2(n - 2)n + 2 = 2n - 42 + 4 = 2n - n6 = n.
La suma de los ángulos de un polígono es : 180(n - 2) x = número original de lados de un polígono 180(x - 2) = suma de los ángulos interiores original Si el numero de lados de unpolígonoregular se duplica, entoncesla…
Figura lados vertices triangulo 3 3 cuadrado 4 4 pentagono 5 5 hexagono 6 6 numero de vertices + 4 = numero de lados + 4 si se aumenta en cuatro el numero de sus lados, el numero de vertices aumentara en cuatro.
N : # de lados suma de angulos internos : 180(n - 2) n + 4 180(n + 4 - 2) = 2(180(n - 2)) 180(n + 2) = 360(n - 2) n + 2 = 2(n - 2) n + 2 = 2n - 4 6 = n.
Respuesta : el polígono regular original tiene 5 vértices y el aumentado 6 vértices Te adjunto procedimiento y representación gráfica.
.