Sen(3x)cosx - cos(3x)senx = sen(2x) identidad trigonometrica?
Sen(3x)cosx - cos(3x)senx = sen(2x) identidad trigonometrica.
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Primero sacaremos sen2x con la fórmula de angulos dobles
sen(a + b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)
sen(x + x) = sen(x)cos(x) + sen(x)cos(x)
sen2x = 2sen(x)cos(x)
Ahora sen3x
sen(x + 2x) = sen(x)cos(2x) + cos(x)sen(2x - - - - - - = sen(x)[1 - 2sen²(x)] + cos(x)2sen(x)cos(x) - - - - - = sen(x) - 2sen³(x) + 2sen(x)cos²(x) - - - - - = sen(x) - 2sen³(x) + 2sen(x)(1 - sen²(x)) - - - - - = sen(x) - 2sen³(x) + 2sen(x) - 2sen³(x) - - - - - = 3sen(x) - 4sen³(x)
cos(x + x) = cos(x)cos(x) - sen(x)sen(x) - - - - - - - - = cos²(x) - sen²(x)
cos(x + 2x) = cos(x)cos(2x) - sen(x)sen(2x) - - - - - - = cos(x)(2cos²(x) - 1) - sen(x)(2sen(x)cos(x)) - - - - - = 2cos³(x) - cos(x) - 2sen²(x)cos(x) - - - - - - = 2cos³(x) - cos(x) - 2cos(x)(1 - cos²(x)) - - - - - - = 2cos³(x) - cos(x) - 2cos(x) + 2cos³(x) - - - - - - = 4cos³(x) - 3cos(x)
Ahora acentos el ejercicio
sen(3x)cos(x) - cos(3x)sen(x) = sen(2x)
[3sen(x) - 4sen³(x)]cos(x) - [4cos³(x) - 3cos(x)]sen(x) =
3sen(x)cos(x) - 4sen³(x)cos(x) - 4cos³(x)sen(x) + 3cos(x)sen(x) =
3sen(x)cos(x) + 3sen(x)cos(x) - 4cos(x)sen²(x)sen(x) - 4cos³(x)sen(x)
Realizó aparte está expresión : - 4cos(x)sen(x)(1 - cos²(x)) = - 4sen(x)cos(x) + 4cos³(x)sen(x)
6sen(x)cos(x) - 4sen(x)cos(x) + 4cos³(x)sen(x) - 4cos³(x)sen(x) =
2sen(x)cos(x)
Y como ya hice antes ese es sen(2x).
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