Sea la transformación lineal T : R³ →R² definida por : T(x, y, z) = (x - y - z, 2x - y - z) - Hallar el núcleo de la transformación lineal?

Respuesta :

Explicación paso a paso : Para resolver el ejercicio se procede de la siguiente manera : → → → El núcleo está dado por : N(T) = { v ∈R³ / T(v) = 0 R² } → Se dispone el vector v = ( x , y , z ) , cuya imagen es : → T ( v) = ( x - y - z , 2x - y - z ) = ( 0, 0 ) igualando términos : x - y - z = 0 x = y + z 2x - y - z = 0 2x - ( y + z) = 0 2x - x = 0 x = 0 y = - z si z = k ∈R y = - k z = k x = 0 y = - k z = k → V = ( 0 , - k , k ) siendo el núcleo de la transformación : N(T) = { ( 0 , - k , k) / k ∈R } Para determinar el recorrido o imagen de la transformación lineal, se toma en cuenta el dominio : R³ = { ( x , y, z ) / x, y, z ∈R } dim R³ = 3 La base canónica del dominio R³ es : { ( 1, 0, 0) ; ( 0, 1, 0) ; ( 0, 0, 1) } T( 1, 0, 0 ) = ( 1 - 0 - 0, 2 * 1 - 0 - 0) = ( 1 , 2 ) T( 0, 1, 0) = ( 0 - 1 - 0 , 2 * 0 - 1 - 0 ) = ( - 1 , - 1) T( 0, 0, 1 ) = ( 0 - 0 - 1 , 2 * 0 - 0 - 1 ) = ( - 1, - 1) El recorrido es : { ( 1, 2 ) ; ( - 1, - 1) ; ( - 1, - 1) }.