Transformaciones lineales de polinomio de grado 2 a grado 1?

Un ejercicio bastante sencillo si es que preguntan el núcleo (es lo más lógico)

T(p(x)) = p(x) + x ^ 2p(x)

nos dice que p(x) = ax ^ 2 + bx + c

Osea la transformación nos dice que :

T(ax ^ 2 + bx + c) = (ax ^ 2 + bx + c) + (x ^ 2)(ax ^ 2 + bx…

T(ax ^ 2 + bx + c) = ax ^ 2 + bx + c + ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2

T(ax ^ 2 + bx + c) = ax ^ 4 + bx ^ 3 + (a + c)x ^ 2 + bx + c

Para el núcelo, el codominio debe estar igualado a cero :

ax ^ 4 + bx ^ 3 + (a + c)x ^ 2 + bx + c = 0x ^ 4 + 0x ^ 3 + 0x ^ 2…

Haciedo una igualdad de polinimios queda :

a = 0, b = 0, c = 0

Osea que el núcelo es el vector cero, cuya dimensión es cero.