SE TIENEN DOS NUMEROS CUYO MCM ES 147 Y CUYA DIFERENCIA DE LOS MISMOS ES 28 , HALLARR LA SUM DE DICHOS NUMEROS?

El profesor Darío dividió 111111111111111111 entre 9 y así obtuvo el

número mágico 12345679012345679.

Para cualquier cifra x del 1 al 9, si el

número mágico se multiplica por 9x el resultado será xxxxxxxxxxxxxxxxxx.

2. No.

Como el último dígito de un producto sólo depende de los últimos

dígitos de los factores, basta examinar los productos 1 × 2 = 2, 2 × 3 =

6, 3 × 4 = 12, 4 × 5 = 20, 5 × 6 = 30, 6 × 7 = 42, 7 × 8 = 56, 8 × 9 = 72 y

9×0 = 0 para convencerse de que el producto de dos enteros consecutivos sólo

puede terminar en 0, 2 ó 6.

3. Si se escriben Las primeras potencias de 2 : 2

1 = 2, 2

2 = 4, 2

3 = 8, 2

4 = 16,

2

5 = 32, 2

6 = 64, 2

7 = 128, 2

8 = 256, 2

9 = 512, .

. . se observa que la última

cifra se repite periódicamente : 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, .

. . Esto es consecuencia de

que el último dígito de un producto sólo depende de los últimos dígitos de los

factores, así la siguiente a cualquier potencia de 2 que termine en 2 terminará

en 2×2 = 4, la siguiente a cualquiera que termine en 4 terminará en 4×2 = 8,

la siguiente a cualquiera que termine en 8 terminará en 6 (pues 8 × 2 = 16 y

la siguiente a cualquiera que termine en 4 terminará en 2 (pues 6 × 2 = 12.

Como 2011 = 502 × 4 + 3, 2

2011 termina en 8.

4. No, porque un cuadrado perfecto sólo puede terminar en 0, 1, 4, 5, 6 ó 9.

5. Se trata de hallar un número abc .

. . xyz tal que zabc .

. . xy = 2·abc .

. . xyz,

o bien

abc .

. . vwxyz

×2

zabc .

. . vwxy

Observe que z debe ser al menos 2.

Supongamos que z = 2.

Entonces, como

2 · 2 = 4, debe ser y = 4.

Ahora, como 4 · 2 = 8, debe ser x = 8.

Y como

8 · 2 = 16, debe ser w = 6 y nos llevamos 1.

Ahora 6 · 2 + 1 = 13, por lo tanto

v = 3.

Abc .

. . 36842

×2

zabc .

. . 3684.