Se tienen 5 ángulos consecutivos alrededor de un punto cuyas medidas se encuentran en progresión aritmética?

Tarea : Se tienen 5 ángulos consecutivos alrededor de un punto cuyas medidas se encuentran en progresión aritmética.

Calcular el máximo valor entero que puede tomar la razón o diferencia "d".

Respuesta : Puede tomar el valor máximo de 35Explicación paso a paso : Empezaré por aclarar que en progresiones aritméticas, la razón a que se refiere el ejercicio yo la llamo diferencia "d" entre términos consecutivos y es el número que se suma a un término para obtener el siguiente.

Lo primero a deducir del texto es que si tenemos 5 ángulos alrededor de un punto, entre los 5 ángulos deberán sumar por fuerza un total de 360º que es el ángulo de una vuelta completa, el ángulo total.

Así pues ya podemos deducir que la suma de los 5 ángulos (términos de la progresión) debe darnos esa cantidad de 360º, ok?

A estas alturas sabemos esto : Suma de los 5 términos : Sₙ = 360Número de términos : n = 5Primer término : a₁ = desconocidoÚltimo término : a₅ = desconocidoDiferencia : d = desconocidaAsí pues, lo primero es acudir a la fórmula de suma de términos de una progresión aritmética : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=S_n%3D%5Cdfrac%7B%28a_1%2Ba_n%29%2An%7D%7B2%7D" />Sustituyendo el valor de la suma y despejando.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S_n%3D360%3D%5Cdfrac%7B%28a_1%2Ba_5%29%2A5%7D%7B2%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20720%3D%28a_1%2Ba_5%29%2A5%5C%5C%20%5C%5C%20a_1%2Ba_5%3D144" />De ahí despejo : a₅ = 144 - a₁ .

Y lo reservo.

Me ayudaré ahora de la fórmula del término general del cualquier progresión artimética que dice : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3Da_1%2B%28n-1%29%2Ad" />Sustituiré y despejaré "d" hasta simplificar al máximo : a₅ = a₁ + (5 - 1) × da₅ = a₁ + 4da₅ - a₁ = 4dd = (a₅ - a₁) / 4Ahora sustituyo el valor de a₅ que quedó despejado en la fórmula de la suma de términos de más arriba.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=d%3D%5Cdfrac%7B144-a_1-a_1%7D%7B4%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20d%3D%5Cdfrac%7B144-2a_1%7D%7B4%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20d%3D%5Cdfrac%7B144%7D%7B4%7D%20-%5Cdfrac%7B2a_1%7D%7B4%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20d%3D36-%5Cdfrac%7Ba_1%7D%7B2%7D" />Y ya toca aplicar la lógica.

Nos pide calcular el máximo valor entero que puede tomar la diferencia o razón así que hemos de sustituir el valor de a₁ por un valor tal que al dividirlo por 2 y el resultado restarlo de 36 nos salga el máximo valor entero.

Si decimos que a₁ = 1, tenemos que restar 1 / 2 = 0, 5 de 36 y el resultado es decimal y no es entero.

Con ello queda claro que al ser fracción con denominador "2" y pedirnos resultado entero, no podemos tomar valores impares en el numerador que es a₁ .

Si decimos que a₁ = 2, el cociente 2 / 2 será 1 y restaremos 1 de 36 quedando 35 como valor entero para "d".

Si decimos que a₁ = 4, el cociente 4 / 2 será 2 y al restar de 36 el valor entero que nos quedará será 34, es decir, un valor inferior al obtenido antes que era 35.

Con estos razonamientos ya no es necesario seguir probando ya que queda bien claro que el máximo valor entero que puede tomar "d" es 35 y tomando el valor de a₁ = 2Pero para estar seguros hay que comprobarlo y para ello volveré a las fórmulas anteriores.

Primero calcularé el valor del 5º término a₅ que sale de aplicar la fórmula del término general : a₅ = 2 + (5 - 1) × 35 = 142Conocido ese dato, acudo a la fórmula de suma de términos para comprobar que dicha suma me dará 360º.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S_5%3D%5Cdfrac%7B%282%2B142%29%2A5%7D%7B2%7D%3D%5Cdfrac%7B144%2A5%7D%7B2%7D%20%3D360" />Así queda comprobado que la diferencia y los valores de los términos son correctos.

Saludos.