Se quiere construir un puente peatonal sobre un río, tal como se muestra en el dibujo siguiente.
El puente debe estar sostenido por un arco parabólico, es decir, tiene la forma de una parábola invertida.
Encuentra la ecuación de la parábola del arco tomando el origen de las coordenadas en la parte izquierda del puente, como se muestra en el dibujo.
Para sostener la plataforma del puente se piensa poner tirantes apoyados en el arco, a una distancia de 3m cada uno.
Calcula la longitud de los tirantes de la parte izquierda del puente.
Hola!
Según gráfico del ejercicio tenemos que la Parábola es Vertical, su Vértice está fuera del Origen y Concavidad negativa ⇒Ecuación Ordinaria : (X - h)² = - 4p×(y - k) Siendo " h " y " k " coordenadas del vértice y " p " distancia del Foco al Vértice
Por gráfico sabemos que : h = 40 / 2 ⇒ h = 20Sabemos que el Lado Recto = 4p = 40 ⇒ Tenemos - 4p = 40 ⇒ p = 40 / - 4 ⇒p = - 10 ⇒ k = ( - 10 + 8 ) ⇒ k = - 2 Coordenadas del Vértice V (h ; k) = V (20 ; 2)
Sustituimos los valores y desarrollamos la ecuación : (X - h)² = - 4p×(y - k) (X - 20)² = - 40×(y - k)x² - 40x + 400 = - 40×(y + 2) ⇒x² - 40x + 400 = - 40y - 80x² - 40x + 400 + 40y + 80 = 0x² - 40x + 40y + 480 = 0Ecuación General de la Parábola : x² - 40x + 40y + 480 = 0Si los tirantes están cada 3 m, hasta la mitad de la Parábola tendremos 6 de ellos sin considerar el primero en el borde del Puente y el de la mitad del puente.
Para hallar la longitud de los tirantes debemos sustituir en la ecuación hallada por los valores de la posición de " x " de cada tirante y obtendremos el valor en " y " que será el largo buscado : El Largo de los tirantes estará entre los 8 mts (extremo izquierdo) y los 2 mts que se tiene en el centro del puente (vértice) : Hallamos la Ecuación reducida de la Parábola : Despejamos " y " : x² - 40x + 40y + 480 = 0 40y = - x² + 40x - 480 ⇒y = - x² / 40 + 40x / 40 - 480 / 40 ⇒y = - x² / 40 + x - 12 Ecuación Reducida de la Parábola
Tirante Nº 1 : x = 3 ⇒y = - x² / 40 + x - 12 y = - (3)² / 40 + 3 - 12y = ║ - 9.
225║ ⇒y = 9.
225 Sabemos que el Máximo = 8 m ⇒Tirante Nº 1 = 8 metros
Tirante Nº 2 : x = 6 ⇒y = - x² / 40 + x - 12 y = - (6)² / 40 + 6 - 12y = ║ - - 6.
9║ ⇒y = 6.
9 Tirante Nº 2 = 6.
9 metros
Tirante Nº 3 : x = 9 ⇒ y = - x² / 40 + x - 12 y = - (9)² / 40 + 9 - 12y = ║ - 5.
025║ ⇒y = 5.
025 ⇒Tirante Nº 3 = 5.
025 metrosTirante Nº 4 : x = 12 ⇒y = - x² / 40 + x - 12 y = - (12)² / 40 + 12 - 12y = ║ - 3.
6║ ⇒y = 3.
6 ⇒Tirante Nº 4 = 3.
6 metrosTirante Nº 5 : x = 15 ⇒y = - x² / 40 + x - 12 y = - (15)² / 40 + 15 - 12y = ║ - 2.
6║ ⇒y = 2.
6 ⇒Tirante Nº 5 = 2.
6 metros
Tirante Nº 6 : x = 18 ⇒y = - x² / 40 + x - 12y = - (18)² / 40 + 18 - 12y = ║2.
1║ ⇒y = 2.
1Tirante Nº 6 = 2.
1 metrosComo podemos apreciar todo sigue una lógica, la medida de los los tirantes verifican la ecuación hallada entre el entorno de y = ║ - 8║ e y = ║ - 2║Dejo un archivo con el esquema gráfico.
Espero haber ayudado!
Saludos!
