Se presenta la siguiente situación problemática : Una joven interesada en compartir una “cadena de oraciones” en el Facebook, envía un mensaje a cinco amigos pidiéndoles que, a su vez, cada uno de ellos envié una copia de dicho mensaje a otros cinco amigos, y así sucesivamente.
Después de 10 envíos, ¿cuantos amigos se han hecho de estos mensajes?
__________________________________________________Estos ejercicios siempre se resuelven con progresiones geométricas (PG) ya que estamos ante una cantidad inicial de 5 amigos que sería el primer término de la PG - - - a₁ = 5 y cada uno de ellos debe enviarlo a otros 5 amigos distintos de los que los envíen los demás, así se produce que en el segundo término, esos cinco amigos iniciales habrán transmitido el mensaje a una cantidad de 5×5 = 25 amigos y este será el valor del segundo término de la PG.
A₂ = 25 amigos.
En ese momento ya tenemos los 5 amigos iniciales más los 25 amigos que reciben el mensaje que suman 5 + 25 = 30 amigos son los que conocen la cadena de oraciones.
Así sucesivamente iríamos calculando los términos siguientes de la PG hasta llegar al décimo término que son los envíos a partir de los cuales nos pide el ejercicio que calculemos el total de amigos que conocen el mensaje.
Por lo tanto también conocemos el dato del NÚMERO de términos de la PG, n = 10Acudiendo a la fórmula del término general de cualquier PG calcularemos el valor del término décimo, es decir, a₁₀ .
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3Da_1%2Ar%5E%7Br-1%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20a_%7B10%7D%20%3D5%2A5%5E%7B10-1%7D%20%3D5%5E1%2A5%5E%7B10-1%7D%3D5%5E%7B10%7D%3D9765625" />Con esa cantidad sabemos el último grupo de amigos que se enteran de la cadena pero a todos ellos hay que sumarles todos los amigos anteriores que se han ido enterando y que formaban otro grupo distinto.
Para ello hay que acudir a la fórmula de SUMA de términos de cualquier PG y sustituir los datos conocidos.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S_n%3D%5Cdfrac%7Ba_n%2Ar-a_1%7D%7Br-1%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20S_%7B10%7D%3D%5Cdfrac%7B9765625%2A5-5%7D%7B5-1%7D%20%3D%5Cdfrac%7B48828120%7D%7B4%7D%20%3D12207030" />Y esa cantidad es la respuesta : 12.
207. 030 amigos.
Saludos.