Se desea construir una caja de metal sin tapa de una lamina que vale a soles por cada cm2 de superficie?

Supongamos que las dimensiones de la caja sean : x = y, z, entonces el área de la caja sin tapa es

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%28x%2Cz%29%3Dx%5E2%2B2%28xz%2Bx%5E2%29%3D3x%5E2%2B2xz" /> .

(1)

El volumen de la caja es

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=V%28x%2Cz%29%3Dx%5E2z%20%3D%20500" />

despejemos z

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%24z%3D%5Cfrac%7B500%7D%7Bx%5E2%7D%24" /> .

(2)

reemplacemos (2) en (1)

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%24A%28x%29%3D3x%5E2%2B%5Cfrac%7B1000%7D%7Bx%7D%24" />

Para que nos cueste menos, el área debe ser la mas chica posible, veamos si A(x) posee un mínimo

Criterio de las derivadas

1)Primera derivada

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%24%5Cfrac%7Bd%20A%7D%7Bdx%7D%3D6x-%5Cfrac%7B1000%7D%7Bx%5E2%7D%24" />

1.

1) punto critico

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%246x-%5Cfrac%7B1000%7D%7Bx%5E2%7D%3D0%24" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=6x%5E3%3D1000" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%24x%3D%5Cfrac%7B10%7D%7B%5Csqrt%5B3%5D6%7D%24" />

2)segunda derivada

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%24%5Cfrac%7Bd%5E2%20A%7D%7Bdx%5E2%7D%3D6%2B%5Cfrac%7B2000%7D%7Bx%5E3%7D%24" />

evaluamos el punto crítico en esta expresión

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%24%5Cleft.%20%5Cfrac%7Bd%5E2%20A%7D%7Bdx%5E2%7D%5Cright%20%7C_%7Bx%3D%5Cfrac%7B10%7D%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B6%7D%7D%7D%3D6%2B%5Cfrac%7B2000%7D%7B%5Cfrac%7B1000%7D%7B6%7D%7D%3D18%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%200%24" />

entonces

[img = 10]

es un mínimo = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Las dimensiones de la caja son [img = 11].