Se desea construir una caja de metal sin tapa de una lamina que vale a soles por cada cm2 de superficie. La caja debe contener 500cm3 de volumen. ¿Cuales son las dimensiones de la caja mas económica si la base debe ser cuadrada?
Pregunta de Matemáticas · 1 respuesta · 10 votos · mejor respuesta de Arlennys
En resumen
Supongamos que las dimensiones de la caja sean : x = y, z, entonces el área de la caja sin tapa es <img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%28x%2Cz%29%3Dx%5E2%2B2%28xz%2Bx%5E2%29%3D3x%5E2%2B2xz" /> . (1) El volumen de la caja es <img src="https://tex.z-dn.net/?
Supongamos que las dimensiones de la caja sean : x = y, z, entonces el área de la caja sin tapa es
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%28x%2Cz%29%3Dx%5E2%2B2%28xz%2Bx%5E2%29%3D3x%5E2%2B2xz" /> .
(1)
El volumen de la caja es
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=V%28x%2Cz%29%3Dx%5E2z%20%3D%20500" />
despejemos z
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%24z%3D%5Cfrac%7B500%7D%7Bx%5E2%7D%24" /> .
(2)
reemplacemos (2) en (1)
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%24A%28x%29%3D3x%5E2%2B%5Cfrac%7B1000%7D%7Bx%7D%24" />
Para que nos cueste menos, el área debe ser la mas chica posible, veamos si A(x) posee un mínimo
Criterio de las derivadas
1)Primera derivada
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%24%5Cfrac%7Bd%20A%7D%7Bdx%7D%3D6x-%5Cfrac%7B1000%7D%7Bx%5E2%7D%24" />
1.
1) punto critico
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%246x-%5Cfrac%7B1000%7D%7Bx%5E2%7D%3D0%24" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=6x%5E3%3D1000" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%24x%3D%5Cfrac%7B10%7D%7B%5Csqrt%5B3%5D6%7D%24" />
2)segunda derivada
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%24%5Cfrac%7Bd%5E2%20A%7D%7Bdx%5E2%7D%3D6%2B%5Cfrac%7B2000%7D%7Bx%5E3%7D%24" />
evaluamos el punto crítico en esta expresión
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%24%5Cleft.%20%5Cfrac%7Bd%5E2%20A%7D%7Bdx%5E2%7D%5Cright%20%7C_%7Bx%3D%5Cfrac%7B10%7D%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B6%7D%7D%7D%3D6%2B%5Cfrac%7B2000%7D%7B%5Cfrac%7B1000%7D%7B6%7D%7D%3D18%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%200%24" />
entonces
[img = 10]
es un mínimo = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Las dimensiones de la caja son [img = 11].
Supongamos que las dimensiones de la caja sean : x = y, z, entonces el área de la caja sin tapa es <img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%28x%2Cz%29%3Dx%5E2%2B2%28xz%2Bx%5E2%29%3D3x%5E2%2B2xz" /> .
Bueno primero como la caja es de base cuadrada quiere decir que as dimensiones de estas sera igual y la llamaremos x, asi el volumen de cualkier solido area de la base por la altura q llamaremos y asi la formula es x ^…
Para construir una caja de base cuadrada sin tapa a partir de una lámina de cartón de x cm por x cm, se cortan cuadrados idénticos de 5 cm en las cuatro esquinas y se doblan los lados hacia arriba. Si la caja debe…
Respuesta : Sabemos que el área se va a construir con 192 p2 ¿qué dimensiones debe tener la caja para que su volumen sea el máximo y cuál es el volumen máximo? V = L² * h. Sabemos que el área utilizada es de : 192 = L²…
Respuesta : Si Juan tiene que construir una caja con tapa. El dispone de 6 metros cuadrados de cartón para construir la caja con forma de prisma recto de base cuadrada. Obviamente él sabe que se puede construir una…