Se desea construir una bandeja rectangular con un volumen de 231 plg3 recortando cuadros de un mismo tamaño en las esquinas de una hoja rectangular de 14 por 18 plg doblando después los lados hacia arriba. Calcule la longitud de los cuadros que deben de cortarse en cada esquina.
Analicemos la base de la caja :
Sea X = Altura de la Caja
Largo = 18 - 2X
Ancho = 14 - 2X
Alto = X
Volumen = (18 - 2X)(14 - 2X)X = 231
(18 - 2X)(14 - 2X) = 252 - 36X - 28X - 4X²
Volumen = (4X² - 64X + 252)X = 4X³ - 64X² + 252X
4X³ - 64X² + 252X = 231
Aplico Newton - Raphson :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=X_%7Bn%2B1%7D%3DX_n%5C%3A-%5C%3A%5Cfrac%7Bf%5Cleft%28X_n%5Cright%29%7D%7Bf%5C%3A%27%5Cleft%28X_n%5Cright%29%7D" />
f(X) = 4X³ - 64X² + 252X - 231 = 0
f´(X) = 12X² - 128X + 252
Omito el paso ya que es muy largo.
X1 = 1.
32650
X2 = 4.
12859
X3 = 10.
54491
Entonces los tres valores satisfacen la ecuacion te anexo grafica.
La linea azul representa : Y = 231
La curva es Y = 4X³ - 64X² + 252X
Los puntos representan las soluciones.
147÷3 = 49 b×a = 49 7×7 = 49 Perímetro : 7×4 = 28 La cartulina original tenía un perímetro de 28 cm y un área de 49 cm ^ 2.
Si optimizar significa hallar x para que el volumen sea máximo, veamos. El volumen es V = x (30 - 2 x) ( 21 - 2 x) = 4 x³ - 102 x² + 630 x La condición de máximo es derivada primera nula, derivada segunda negativa. V' =…
Area rectangulo sin cortar ⇒ 20 * 16 = 320 in² área base⇒ 140 in² 320 - 140 = 180 in²⇒ área que se cortó (180 in²) / 4 = 45 in²⇒ área de cada uno de los cuadrados de las esquinas L = √ (45 in²) L = 6, 7 in⇒ lado de los…
Mírate la solución en la imagen.