Resolver la integral indefinida por medio de sustituciones trigonométricas[tex] \ int \ ( \ frac{(16 - 9x ^ 2) ^ \ frac{3}{2} }{x ^ {6} } dx [ / tex]?

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%20%5Cfrac%7B%5Cleft%2816-9x%5E2%5Cright%29%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%7Bx%5E6%7Ddx" />

Sacamos la constante :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cint%20%5Cfrac%7B16-9x%5E2%7D%7Bx%5E6%7Ddx" />

Aplicamos la regla de la suma :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cleft%28%5Cint%20%5Cfrac%7B16%7D%7Bx%5E6%7Ddx-%5Cint%20%5Cfrac%7B9x%5E2%7D%7Bx%5E6%7Ddx%5Cright%29" />

Tomamos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%20%5Cfrac%7B16%7D%7Bx%5E6%7Ddx" />

Sacamos la constante :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%3D16%5Cint%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E6%7Ddx" />

Usamos una propiedad de exponentes :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%3D16%5Cint%20%5C%3Ax%5E%7B-6%7Ddx" />

Aplicamos la regla de la potencia :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%3D16%5Cfrac%7Bx%5E%7B-6%2B1%7D%7D%7B-6%2B1%7D" />

Simplificamos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%3D-%5Cfrac%7B16%7D%7B5x%5E5%7D" />

Realizamos el mismo proceso para :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%20%5Cfrac%7B9x%5E2%7D%7Bx%5E6%7Ddx" />

Nos queda que :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%3D-%5Cfrac%7B3%7D%7Bx%5E3%7D" />

Juntamos :

[img = 10]

Simplificamos :

[img = 11]

Y finalmente agregamos una constante :

[img = 12].