Que son las ecuaciones diferenciales de segundo orden, por favor?

Una ecuación diferencial de segundo orden es de la formaSise llamaEcuación homogénea, como por ejemploSise llamaEcuación no homogénea, como por ejemplo1) DEFINICIÓN DEINDEPENDENCIALINEALSe dice que lasfuncionesson linealmente independientes si la única solución de la ecuaciónDondeEn caso contrario, las funciones son linealmente dependientes.

Ejemplos : 1) Las funciones ; para ser linealmente independientes debe cumplirRemplazandolos valoresde las funciones se obtieneComo los únicosvaloresposibles depara que cumpla laigualdadesentonces las funciones ; son linealmente independientes2) Las funciones ; para ser linealmente independientes debe cumplirRemplazando los valores de las funciones se obtieneComo uno de los posibles valores depara que cumpla la igualdad pueden serentonces las funciones ; son linealmente dependientesSisonsolucioneslinealmente independientes de la ecuación diferencial, entonces, la solución general esDondeson las constantesAdemás por ser ecuación diferencial de segundo orden se tiene soluciones de la formaEntoncesRemplazando ense tieneFactorandoComonunca se anula, es una solución si y solo siEjemplo ilustrativoResolver la ecuación diferencialSolución : Se obtiene la ecuación característica, para lo cual se sustituyepor, por, epor 1 para obtener una ecuación de la formaPor lo tanto la ecuación característica deesResolviendo la ecuación se tieneEntoncesQue son las soluciones particulares de la ecuación diferencialAdemás, como estas dos soluciones son linealmente independientes la solución general esGraficando para valores arbitrariosse tiene

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